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应用与训练（6）逻辑的高阶（下）

逻辑的高阶（下） 本文主要讨论如何建立量化的模型或方程 ， 因为定性的分析只能给出系统大概的框架和方向 。 尤其是对自然科学或工程类而言 ， 仅限于定性分析显然是远远不够的 。 量化 ， 一是为了更加精细的描述和控制 ， 二是可以引导进一步深入的研究 。 这一点十分重要 。 有了定量的研究 ， 哥白尼才实现从地心说到日心说的转变 ， 而有了日心说的定量研究 ， 开普勒才发现行星的轨迹是椭圆不是圆 。 相对而言 ， 中医所论的阴阳、虚旺等概念就属于定性的分析 ， 很难进行更深入的量化研究 ， 所以进展比较缓慢 。 量化的探索性演绎 ， 先将要素量化 ， 然后通过假设、演绎的过程建立数学模型（或方程）并计算 ， 将计算的结果和实际数据相比较 。 若偏差较大 ， 则重复前面的过程 。 不断改进 ， 迭代模型 ， 直到模型的计算与实际数据近似或相符 。 此过程与解决普通的数学题有很大的不同 ， 模型或方程建立的过程不能确认其正确性 ， 得到了模型或方程也很难确定其正确性 ， 不然怎么叫探索性演绎呢 ， 探索就是说很多不确定性 。 量化的探索性演绎法非常复杂 ， 技巧性也非常高 。 本文做了极端简化的表述 ， 给人以启发即可 。 以下考察两类典型的量化过程：经济现象的数学建模和作为定律的物理方程 。 人们怎么计算花钱呢 ， 或者说消费跟什么有关呢？凯恩斯在《就业、利息和货币通论》一书中提出：可支配收入与消费之间 ， 存在相当稳定的关系 ， 这个关系 ， 可以表示为一个函数 ， 称为消费函数 。 凯恩斯认为 ， 影响人们消费量的因素决定消费水平的因素很多 ， 可以分为两大类：主观因素和客观因素 。 主观因素包括人性之心理特征、社会习俗与社会制度 ， 其中后二者在短时期内不会有重大变动 。 客观因素包括利率与财政政策的变动等 ， 短期内也不会有太大改变 。 于是 ， 凯恩斯得出结论 ， 消费函数是一个较为稳定的函数 。 它的形状 ， 取决于总收入和人的基本心理法则 。 人性的基本心理法则决定：当收入增加时 ， 增加也随之消费 ， 但消费之增加不如收入的增加快 。 这就是边际消费倾向递减规律 。 假设消费和收入之间存在线性关系 ， 则边际消费倾向为一常数 ， 这时消费函数可以表示为c=α+βy, 式中 ， c为消费 ， α为基本消费部分 ， β为边际消费倾向(0β1) ， y是收入 ， β和y的乘积表示由收入引致的消费 。 这一模型过于简单粗略 ， 用于预测时误差较大 。 后来的经济学家根据这个模型对消费函数进行了较深入的研究 ， 提出了若干新的模型及相应的函数式 。 从这个案例可以了解到 ， 经济现象构成的要素比较容易找到 ， 但各种要素繁多、关系复杂 ， 不利于模型的建立 ， 因此需要将某些次要的因素忽略 ， 这也是作为假设的一部分 。 需要注意的是 ， 假设的直接目的是为了便于数学模型的建立 。 模型不能过于简化 ， 以致不能把握经济现象 ， 又不能过分复杂 ， 以致难于进行有效的分析 。 选定恰当的要素并进行定性的分析之后 ， 需要考虑如何表达为函数关系式 。 这是一个比较灵活的问题 ， 无定法可循 ， 基本可以分为三类： 1）由对要素的定性分析 ， 直接建立关系式 。 例如对于消费函数先假设某种关系式 ， 一般是先假设线性关系 ， 因为线性关系最容易处理 。 如果误差很多 ， 再考虑其他的非线性关系 。 2）各种关于经济类的统计数据可以作为依据 。 这需要对统计数据做大量的分析处理 。 3）参考已有的各种经济模型 ， 通过类比选择合适的模型 。 经济模型的建立就是这样的过程 。 通过一个模型 ， 可以简单地表示现实世界的情况 。 这里的重点在“简单”两个字上 。 一个好的模型可以去除无关的细节 ， 从而让经济学家把重点放在经济现象的基本特征上 。 在建立模型时 ， 选择正确的简化方法具有一定的艺术 。 一般来说 ， 要采用的是最简单的并且能够描述出我们正在考察的经济状况的模型 ， 然后再逐步增加复杂的因素 ， 使模型变得更为复杂同时也更符合实际 。 经济学模型的建立 ， 从选定要素到定性分析到建立关系式 ， 其假设和推导的过程比较简单 。 相比而言 ， 物理方程的建立需要更多的想象和推导 。 因为物理规律隐藏的非常深 ， 可能连要素也找不到或找不准 ， 推导关系式也更加困难 。 事实上 ， 大多数物理定律也不是严格推导出来的 ， 而是拼凑、猜测出来的 。 当然这个猜应该不是瞎猜的 ， 也是有根据的、合理的逻辑分析 。 亚里士多德认为物体越重下落的越快 。 这个理论统治了人们近二千年 。 伽利略通过逻辑分析得出这个理论存在内部矛盾 ， 因此认定物体的自由下落跟其质量无关 。 他说 ， 如果用一根绳子把两个重量不同的物体联系起来 ， 那它们将以什么速度下落呢？按照亚里士多德的落体理论 ， 联系起来后 ， 它们的重量是两物体重量之和 ， 所以 ， 它们的下落速度也应是两物体各自单独下落时的速度之和 。 另一方面 ， 用绳子联系起来的两物体毕竟不是一个物体 ， 重物体下落快 ， 被轻物体拖了后腿 ， 所以速度减慢；而轻物体原来下落慢 ， 由于被重物体拖曳 ， 则其速度应有所增加；很快两物体将以相同的速度下落 ， 这个速度应是两物体各自单独下落时的平均值．这两个大相径庭的结论都是从亚里士多德的落体理论中推导出来的 ， 可见亚里士多德的落体观念不足为信 ， 进而提出假设 ， 重物与轻物应该下落得同样快 。 伽利略进一步猜想落体运动应该是一种最简单的变速运动,物体的速度应该是均匀变化的 。 他考虑了两种可能：一种是速度的变化对时间来说是均匀的,即v与t成正比；另一种是速度的变化对位移来说是均匀的,即v与x成正比 。 通过数学运算得出：如果v与x成正比,将会得到荒谬的结论；如果v与t成正比,它通过的位移x就与t2成正比 。 实验严格的证明了这个结论 。 自由落体定律就这样确立了 。 当一位成熟的物理学家进行探索性的科学研究时 ， 常常从定性的或半定量的方法入手 ， 力求先对问题的性质、解的概貌取得模型或方程的一个整体的形状 。 如对对称性的考虑和最小作用量的评估 ， 现代物理学家对对称性有着深刻的依赖 ， 在对微观结构不了解的情形下 ， 先假设它具有某种对称性 。 其他的方法也很多 ， 如量纲分析、数量级估计、极限情形和特例的选取 ， 以及概念和方法的类比等等 。 麦克斯韦先后提出关于电磁模型的几种构想来解释电磁现象 。 他开始用虚拟的不可压缩的匀速流体来类比电力线和磁力线：在空间区域的流体速度和方向代表了力线的密度和方向 。 如此 ， 他证明静态电力和磁力可以从传统的距离之间的作用理论推导出来 。 六年后 ， 麦克斯韦得到了一个新模型 。 他想象空间里充满着小球 ， 这些小球可以旋转 ， 他们被更小的粒子在空间上隔开 。 那些小粒子就像是钢珠轴承 。 他假设这些小球有很小但有限的质量 ， 有一定的弹性 ， 这就可以把电力线和磁力线和机械系统作对比 。 因而任何一个小球的变化引起了其他小球的变化 。 这个杰出的模型导出了所有关于电磁的著名方程 ， 它预言电磁波的传播速度只由电磁基本性质决定 。 这个速度和测到的光速只相差1.5% 。 这个模型还不是电磁场理论的最后形态 ， 但是可以看出物理学家对于抽象对象的一种重要的研究方法了 。 假设抽象的对象可以对应到相似物 ， 这样可以通过类比的方法构造模型并建立方程 。 类比是物理学家激发想象、提出假设的重要途径 。 因为相似物之间进行类比 ， 这样要素和要素关系就容易找到 。 在大多数情况下 ， 从大的前提假设出发还不能直接演绎到需要的物理方程 ， 因为这只是描述了系统基本的方向和轮廓 。 例如从狭义相对论的两大假设到洛伦兹时空变换关系式 ， 还有很大的距离 。 两大假设只是划定了基本的框架和方向 ， 具体推导的过程还需要补充其他的条件和假设 。 每个步骤的推导都可能需要进行通过已有知识或方法的遍历检索来作为下一步推导的依据 ， 如果找不到有用的 ， 就需要展开想象 ， 想象其他的可能性 。 如是可见 ， 大的前提是假设的 ， 很多推导步骤也是假设或想象的 ， 这就造成了推导的不确定性 。 一般而言 ， 物理方程的推演过程更多的是提供了一种合理的可能性 ， 而不是必然性 ， 其必然性由实验来判决 。 爱因斯坦在经过十年的探索得出引力场方程后 ， 对洛仑兹的信中承认：“基本表述终于正确了 ， 但推导仍是糟糕的” ， 认为“我那一系列有关引力的论文是一条错误足迹的链条” 。 然而正是这种一边假设一边演绎的方法 ， 集雄奇想象和逻辑分析于一体 ， 跟玄学的推演方式看起来很接近 ， 煞有介事 ， 非常的有腔调 。 这就是探索性演绎法最神奇的地方了 。


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