向量的直观解释( 二 )

几何上：因为我们在做减法，我们可以把它看作是把第二个向量(红色)的方向反过来，然后把它的尾部放在第一个向量(蓝色)的头部上，以得到我们的结果(绿色):

本文插图
标量乘法
数值上：我们将向量的每个维度乘以标量值：[1,1] * 2 = [2 ， 2]
几何上：我们的向量[1,1]保持其方向，但每个维度以标量值的倍数而改变。

本文插图
向量的大小
数值上：要度量大小或长度，我们使用勾股定理：取向量中每个平方元素之和的平方根。
示例1： [1,2]的幅度= sqrt（12+22）= sqrt（5）= 2.23
示例2： [3,5,6]的幅度= sqrt（32+52+62）= sqrt（9 + 25 + 36）= sqrt（70）= 8.36
几何上：这不需要可视化。它只是您看到的向量的长度。向量的大小通常用管道符号表示:|V| 。
向量乘法（点积）
数值上：我们将两个向量中每个维度的乘积相加。结果将始终是标量值。
示例1： [1,2] · [2,3] = 1 * 2 + 2 * 3 = 8 。
示例2： [1,2,3] · [2,3,4] = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 = 20 。
几何上：这有点棘手。与其直接进行空间解释，不如使用单个向量[0,1]（下面的红色）并找到它与多个其他向量的点积（下面的蓝色）：

本文插图
注意下几点：

当蓝色向量的方向与红色向量的方向相似时，点积更大。
当蓝色向量的大小较大时，点积也较大。
当蓝色向量垂直于红色向量时，点积为0 。

根据这些观察，我对点积的简单解释是:点积告诉我们两条线在方向上的相似程度;点积由这两个向量的大小决定。
现在，让我们看一下X在二维中具有非零值的示例，以巩固我们的理解：

本文插图
为什么蓝色向量[1.5,2]与红色向量的点积比蓝色向量[2,1]大呢?因为它的大小更大，并且其方向与我们的红色向量更相似。
为什么蓝色向量[1 ， -1]与红色向量的点积是0呢 ?因为这两个向量是正交的(彼此成直角) 。它们指向不同的方向。
最后
到目前为止，我们已经将向量定义为一个有大小和方向的线空间。机器学习数据集中的每一行或每一列都可以用几何形式表示为理论上无限维数中的一个向量。最后，我们学习了向量运算的数值和几何解释。