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初中数学▲分享一道难度较大的初中数学题，不少学生直接放弃，辅助线很重要


初中数学▲分享一道难度较大的初中数学题，不少学生直接放弃，辅助线很重要
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各位朋友 ， 大家好！今天是2020年5月12日星期二 。 数学世界将继续发布初中数学习题及解析 ， 如果你是来到这里的新朋友 ， 可以翻看数学世界以前发布的文章 。 笔者希望对广大学生的学习和备考有一些帮助 ， 请朋友们密切关注数学世界！
今天 ， 数学世界为大家分享一道初中数学中难度较大、综合性强的解答题 ， 这题难度考查同学们的综合能力 ， 属于拔高题型 。 大家在做题时要认真观察图形 ， 充分利用已知条件 ， 还要考虑作辅助线 ， 只有这样才可能很快做出来 。 请大家先独立思考一会儿 ， 再看下面的分析和解答过程 ， 相信一定会有收获！
例题：（初中数学综合题）如图1所示 ， 已知在△ABC中 ， BE⊥AC于点E ， AD⊥BC于点D ， 连接DE.
（1）若AB=BC ， DE=1 ， BE=3 ， 求△ABC的周长；
（2）如图2所示 ， 若AB=BC ， AD=BD ， ∠ADB的角平分线DF交BE于点F ， 求证：BF=√2 DE．
这道题的难度较大 ， 需要较强的分析推理能力 。 很多同学由于缺乏分析问题的能力 ， 不能发现题中考查到的知识点 ， 而导致无法完成 。 第一问还比较简单 ， 大多数人应该可以做出来 。 第二问的难度就很大了 ， 要仔细分析图形 ， 并结合已知条件 ， 需要通过作辅助线 ， 证明三角形全等才能得出结论 。
大家在解答此题时 ， 要熟练运用全等三角形的性质与判定 ， 以及等腰三角形与直角三角形等知识 。 下面 ， 数学世界就与大家一起来解决这道例题吧！
分析：（1）由直角三角形斜边上的中线性质可以得出DE=1/2AC=AE ， 所以AC=2DE=2 ， AE=1 ， 再由勾股定理求出AB和BC的长 ， 即可得出结果；
（2）连接AF（如图2所示） ， 由等腰三角形的性质得出∠3=∠4 ， 结合△ABD是等腰直角三角形 ， 得出∠DAB=∠DBA=45° ， ∠3=22.5° ， 由SAS证明△ADF≌△BDF ， 得出AF=BF ， ∠2=∠3=22.5° ， 再证出△AEF是等腰直角三角形 ， 即可得出结论．
（1）解：∵AB=BC ， BE⊥AC ，
∴AE=CE ， ∠AEB=90° ，
∵AD⊥BC ，
∴∠ADC=90° ，
∴DE=1/2AC=AE ，
∴AC=2DE=2 ， AE=1 ，
在直角三角形AEB中 ，
AB^2=AE^2+BE^2 ， BE=3 ，
∴AB=√10 ，
∴BC=√10 ，
∴△ABC的周长为
AB+BC+AC=2√10 +2；
【初中数学▲分享一道难度较大的初中数学题，不少学生直接放弃，辅助线很重要】（2）证明：连接AF ， 如图2所示 ，
∵AB=BC ， BE⊥AC ，
∴∠3=∠4 ，
∵∠ADC=∠ADB=90° ， AD=BD ，
∴△ABD是等腰直角三角形 ，
∴∠DAB=∠DBA=45° ，
∴∠3=22.5° ，
∵∠1+∠C=∠3+∠C=90° ，
∴∠1=∠3=22.5° ，
∵DF平分∠ADB ，
∴∠ADF=∠BDF ，
在△ADF和△BDF中 ，
∵AD=BD ， ∠ADF=∠BDF ， DF=DF ，
∴△ADF≌△BDF（SAS） ，
∴AF=BF ， ∠2=∠3=22.5° ，
∴∠EAF=∠1+∠2=45° ，
∴△AEF是等腰直角三角形 ，
∴AF=√2 AE ，
∵DE=AE ， AF=BF ，
∴BF=√2 DE．
（完毕）
这道题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识 。 本题难度较大 ， 综合性强 ， 需要通过作辅助线进行分析推理 。 温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法 ， 欢迎大家在下面留言讨论 。 谢谢！


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