阿拉伯科学的黄金时代之数学篇

阿拉伯科学的黄金时代之数学篇吉姆·哈利利历史与秩序 1周前中画史鉴-全景插图版：寻路者：阿拉伯科学的黄金时代作者：[英]吉姆·哈利利著李果译当当从现在起，我将绝口不提印度人的科学成就，不提他们在天文学方面的精细发现——这甚至比希腊人和巴比伦人的天文学成就更具独创性，也不提他们那无法用语言形容的、熟练的计算方法。这些印度人并不是叙利亚人。我只想说，这种计算用9个符号就能完成。——塞维鲁斯·塞伯赫特（Severus Sebokht），叙利亚主教电影中经常会出现囚犯用“五杆门”（ five-bar gate）计数法，在牢房的墙上刻出道道痕迹，以标记在狱中挨过的每一天的桥段。 “五杆门”计数法用不断重复的记号来记录不断更新的数字。它和其他形式的计数符号一样，都是我们最古老的计算方式，可追溯至成千上万年前。旧石器时代晚期（前4万—前1万年）的穴居人就首次把动物骨骼作为计算时的计数棒。现存最早的例子可能是距今3.5万年、明确标记有29个凹痕的列彭波骨（Lebombo bone），这些狒狒的小块肋骨发现于斯威士兰（Swaziland）列彭波山上的边界山洞（Border Cave）里。即便在灵敏的数字系统发明之前，人们也有使用刻痕计数的需求——比如，牧人需要记录羊群的数量。每只外出吃草的羊穿过大门时，牧人就会在木棍上刻下一道凹痕。到黄昏时分羊群归来时，他就会根据木棍上的刻痕检查羊的数量，每进来一只羊就把手指移至下一处刻痕。他用这种方式可以知道是否有羊丢失，而不必知道他的羊群中有多少只羊。计数棒在当时的用途就像今天计算对牧人的用途一样，它能像数字一样在人际间口口相传，也可以通过书写流传下去。简单改进一下原始计数棒，就能显著扩大其适用范围。人们所需的只是另外一根计数棒，这可不只是倍增了我们可资利用的凹槽数量那么简单。其工作原理如下：其中一根棒子为标准棒（the standard），上面已刻有很多凹痕，比如20道，而另外一根为未刻痕的计数棒（tally stick），上面画了一条分割线，将计数棒区分为上半截和下半截。牧人在标准棒上顺着凹槽移动手指数羊。他的手指很快就移动至标准棒的底部了，于是，他就在计数棒的下半截划上一道凹痕，以表示数完了1个单位的20 。然后，牧人又重新在标准棒上计数。每当手指摩挲至第20个凹痕后，他就在计数棒的下半截刻上一道。当标准棒记录下最后一只羊后，牧人便在计数棒的上半截刻下最后得出的不足20只羊的凹痕数。现在，如果计数棒下半截上有4道凹痕，上半截有7道，则计得的数值为4×20＋7＝87 。不过，他当然不必知道这个实际总数是多少，只要他能够在羊群返回时，在两根棍子上做好标记，逆向推进这个过程即可。当然，标准棒上的凹痕数量是十分任意的，设定其为20也没什么特别的优势。尽管如此，在计数棒上刻痕，设定单位数为20来数羊，本身就是古英语中“刻痕”（score）一词的起源。在《圣经》中，数字70写作“60和10” ，表示60的语词“threescore”可追溯至14世纪时期——在约翰·威克里夫（John Wyclif）翻译的《圣经》里有这么一句：Thre scoor and sixe daies（66天）。这是第一本从拉丁文翻译为英语的《圣经》。这种以20为基数的计数系统又称二十进制计数法。现代法国的编号方式仍然部分地采用了二十进制：20（vingt）便被用作从60—99之间数字的基本单位。法语中的80就是quatre-vingts ，其字面意思为“4个20” ，而soixante-quinze（字面意思为“60又15”）则表示75 。此项惯例在法国大革命之后引入，目的是统一当时法国各地的多种计数系统。其他计数系统的基数各有不同。基数为12的十二进制系统则是最早出现的计数系统之一。它被付诸使用可能是因为一年大约会出现12次月相周期（阴历月），也可能因为数字12的倍数和因数都方便求得：12=2×2×3=3×4=2×6, 60=12×5 ， 360=12×30 ，依此类推。十二进制计数法在欧洲广为使用， “一打”（dozen）一词就来自古法语词douzaine ，意为“12个一组” 。计数单位“罗”（gross）源自拉丁词汇表示“庞大的”grossus ， gross常用来表示数字144 ，意为“一大打”或者“12打” 。最终，人类手上的10个数字提供了十分便于理解和使用的计数标准，进而十进制系统被普遍采用。毕达哥拉斯（约前580—前500年）当之无愧是历史上第一位伟大的数学家，尽管以他的名字命名的思想流派发展壮大的过程更像是一场宗教运动而非数学运动，但该流派还是取得了丰硕的成果。在毕达哥拉斯哲学的基础观念里，数字与宇宙的实质紧密相连；他把数字视为抽象存在，也视为构成物质的基石。然而，我们应指出，他的生活笼罩着神秘的面纱，一些历史学家甚至认为历史上并无此人。甚至在早于毕达哥拉斯的公元前18世纪，古巴比伦人就使用了“六十进制”计数法，与每10个单位进一位的十进制不同，它是每60个单位向更高的单位进一位。因此，我们正是从古巴比伦人那里继承了1小时为60分钟， 1分钟为60秒的计时方式。同样，将角度分为弧度、弧分和弧秒都基于六十进制。古巴比伦人的数字符号最高到59 ，超过这一数值，下一个单位就又从1开始计数。因此，若用六十进制计数法表示我们现在的数字，我们可在单位之间用逗号隔开。于是，数字61便写作（1 ， 1）。同样，数字123写作（2 ， 3），因为它的构成方式为60×2+3 。由此可得，数字4321写作（1 ， 12 ， 1），因为4321=3600×1+60×12+1 ，以此类推。这种六十进制计数法也用于表示分数，分号可用来隔开整数与分数。因此，虽然（1 ， 30）表示数字90（1×60+30），但（1；30）则表示数字1.5 ，因为30/60与1/2等值。类似的，（2；45）表示2.75 ，因为45/60与3/4等值。古巴比伦时期的一小块泥板（现存于美国耶鲁大学）很好地表示了数字2平方根的近似值。其写作形式为包含分号的六十进制（1；24 ， 51 ， 10）。我们可用完整分数的形式写出这个数字，并将所有分数加总起来：并且，鉴于的精确值是1.414213…… ，可以看出，上述数值与精确值十分近似。不过，数值近似本身并不能真正令人印象深刻。十分谨慎保守的古代科学史学者奥托·诺伊格鲍尔（Otto Neugebauer）捍卫着古巴比伦科学的价值，根据他的说法，藏于耶鲁大学的小泥板和许多其他已知的古巴比伦泥板都证明古巴比伦人通晓“毕达哥拉斯定理”：他们已经知道从正方形的边长确定其对角线的长度这一方法——这比毕达哥拉斯还要早1000年！因此，边长为1个单位的正方形的对角线长度恰好为两个边长平方之和的平方根。而在直角三角形中，此对角线则构成其斜边：古代印度数学家也熟知解出平方根的技巧，我们可从一本1881年在巴赫沙利村（今巴基斯坦境内）附近发现的、写在桦树皮上的《巴赫沙利手稿》（Bakhshali Manuscript）中看到这方面的记载。该手稿的成书时间可追溯至公元前2世纪到公元3世纪之间，其中包含了各种数学问题的解法，比如求解平方根的技巧等。同样，《周髀算经》是一本古代中国数学文献，成书年代可追溯至周朝（前1046—前256年）。该书收集了246个未命名的数学问题，每一个都附有详细的解答步骤和答案，其中包含了对毕达哥拉斯定理的证明，这是世界上关于该定理证明的最早记载之一，周公曾为该证明配图（见上页图），这是展示以三角形斜边为边长的正方形面积等于另两边平方之和的最直观的方法之一。另外一个数学造诣超过古希腊人的例子则由古巴比伦人和古埃及人共享殊荣，即确定π值（圆的周长与直径之间的恒定比率）。 π值是一个“无理数” ，它无法刚好写成两个整数之比，这在早先是一个仅有古希腊数学家才完全理解的概念。因此，用十进制计数法表示的精确π值是一连串无限的数字。我们受古希腊人对数学做过较大贡献的观念影响颇深，以至于许多人认为是古希腊人首次发现了这个常数的存在。这主要是由于我们普遍使用古希腊字母π表示这个常数。它有时候也称“阿基米德常数” ，这是为了纪念这位用几何方法首次对其进行严格估算的古希腊科学家。然而，其他民族在古希腊人登上历史舞台之前便知道了这个常数。古代科学家解出这个常数的方法十分有趣。根据十分粗糙的估算， π的值为3 ，即任何圆形的周长均为其直径长度的3倍。这个数值已足够应付诸多场合了，但巴比伦人和埃及人还需做得更好。古人并未给这个常数命名，甚至不承认它是个实际存在的数学量，而是把它编入估测圆形面积的数学规则中。我们在学校学习的圆面积计算法则πr2就表达了这层含义，就像我们学习圆周长等于2πr一样。古巴比伦人经常写道，圆面积为周长平方的1/12 。这听起来可能相当奇怪，但通过一些不太复杂的代数运算，我们可以看到他们用于计算的π值恰好为3 。一块成于公元前2000年早期的泥板表明，当时的人使用了更为精确的π值3⅛或3.125 ，这比精确值3.1415……略小。古埃及人使用了不同的公式表示圆的面积为半径8/9长度的平方。我们对这个公式稍做调整之后可以看出，他们使用的π值为3.16 ，尽管这一取值稍大，但仍好过3这个粗略值。古巴比伦人，尤其是汉谟拉比王朝时期（约前1780年）的古巴比伦人在数学领域取得了重大进步，成千上万块楔形文字泥板有力地证明了这一点。例如，他们的乘法表是如此独特，以至于2000年后托勒密的同类表格都无法望其项背。当然，我们也不应夸大古巴比伦人的数学能力和成就；尽管比古埃及人取得了更高的造诣，但他们仍不可避免地被古希腊人，特别是毕达哥拉斯、阿基米德和欧几里得等天才人物超越。然而，我们也应该指出，托勒密在其《天文学大成》里用到了巴比伦的六十进制计数法，尽管仅用于写作分数。直到伊斯兰时代，所有天文学著作里的整数总是写成与罗马数字极其相似的字母。仿照古希腊和希伯来传统的阿拉伯符号法可追溯至伊斯兰世界早期。这套符号称为辅音音素系统（abjad system），因为数字系统中的前4位（1 ， 2 ， 3 ， 4）分别由字母表中的前4个字母表示：alif(a) ， bā (b) ， jīm(j)和dāl(d) 。例如，托勒密会将数字365写作τξε ，而伊斯兰数学家则会将其写作。他们都用3个字母代表数字300、60和5 。需要注意的是，这与我们如今使用的十进制符号有较大不同，十进制计数法由9个符号加上0组成，可用于表示任何数字。相反，在辅音音素系统中，数字3、30和300都要用不同的字母表示。穆斯林数学家甚至在继承了古印度的十进制计数法之后，仍继续使用经过改进的古巴比伦六十进制算术，在天文计算中尤其如此，以至于这种算术又称“天文学家的算术” 。我们今天使用的数字符号的原型都来自古印度。公元前3世纪阿育王时期的铭文、前2世纪的纳纳加特（Nana Ghat）铭文，以及公元1—2世纪的纳西克洞穴（Nasik Caves）均刻有这些数字符号，它们全都与今天使用的数字符号十分相似。例如，数字2和3被公认为古代符号=和≡的草书派生形式。然而，这些古印度早期的铭文都不包含任何位值（place value）和零的概念，而正是零让现代位值计数法得以实现。古印度文献有证据表明，数字零可能出现得更早一些，但是任何现存的包含零所对应符号在内的铭文时间都不早于9世纪。位值计数法是个数字系统，其中每个位置与紧邻位置的关系都是基数的恒定倍数。我们的十进制系统的基数自然为10 ，这套系统的发展可归于两位伟大的中世纪印度数学家，第一位是提出位值观念的阿耶波多（Āryabhata ， 476—550年），第二位则是一个世纪之后的婆罗门笈多。最近有人在作品里指出，已知最古老的包含位值系统的文献是成书于458年的耆那教宇宙志《罗克维巴伽》（Lokavibhaga）。到670年前后，位值系统已传入今叙利亚北部，当地一位名叫塞维鲁斯·塞伯赫特的主教称赞发明这个系统的印度人比希腊杰出人物更独具慧眼，更具发明精神，他还提到了“9个符号” ，但似乎他还不知道零这种观念。人们目前并不清楚阿拔斯王朝的巴格达学者是何时得知印度数字的。也许，早在婆罗门笈多《悉檀多》（直接译自梵语，或转译自波斯语）首次翻译为阿拉伯文的曼苏尔时期，学者们就已对印度数字有所了解。两位最著名的巴格达学者——哲学家肯迪和数学家花剌子米在把印度数字引入伊斯兰世界期间自然发挥了关键作用。他们都在马蒙统治时期撰写了该主题的作品，而且也正是他们的作品后来被译为拉丁文而传入了西方世界，欧洲人因此得以了解十进制。中世纪的欧洲人还只当这些是阿拉伯数字呢。然而，直到若干世纪后，欧洲人才广泛接受了这一数字系统，其中一个社会原因是人们认为十进制是穆斯林的象征。欧洲人接受十进制较为滞后还有一个更为重要的实际原因：罗马数字已足够应付日常生活的多数事务。只有在文艺复兴时期人们对科学产生兴趣之后，才理解了数学的重要性，也才意识到数字是数学的核心，因此也是现代科学的基石。印度–阿拉伯数字系统最终由伟大的数学家、比萨的列奥纳多（Leonardo of Pisa ，即斐波那契， 1170—1250年）在欧洲普及开来，他曾在地中海世界四处游学，师从当时顶尖的阿拉伯数学家。旅行归来2年后的1200年，时年32岁的斐波那契就用自己所学的知识写成了《计算之书》（Liber Abaci）。然而，历史学家乔治·萨顿指出：“一个例子就足以说明印度数字整体上在西方的普及程度之缓慢。直到18世纪，法国审计法院（Cour des Comptes of France）仍在使用罗马数字。 ”考虑到罗马数字在进行乘法等运算时较为不便，人们可能认为印度–阿拉伯十进制系统会在欧洲受到热烈而真挚的欢迎。但这个计数系统真正重要之处并不在于表示9个数字的符号本身，甚至也不在于9个数字（外加0）。毕竟，罗马数字仅需要7个字母就能表示1000以内的任意整数。关键之点在于位值系统本身：印度–阿拉伯符号可定义大至无限的任意数字，它的运算效率远超罗马数字。我们以123乘以11为例。多数人可在纸上轻松地计算出结果，而如果善于此道，你甚至能心算得出答案。正确答案是1353 。你也可以试试用罗马数字进行同样的乘法运算。你必须用CXXIII（123）乘以XI（11），得到MCCCLIII（1353）。这么做总是显得有点累赘。古埃及人可能是在偶然间最早发现了这种计算技巧，随着熟练运用，将算法提炼了出来。让我们再回顾一下第一批继承了印度十进制计数系统的巴格达数学家。花剌子米在825年左右写作了算术方面的伟大著作《印度算术中的加减法》（The Book of Addition and Subtraction According to the Hindu Calculation），该书阿拉伯文原版已不复存在，这个标题也只是猜测。这本书可能是第一本翻译为拉丁文的有关十进制的书籍，拉丁版译名为《花剌子米的印度算术》（Liber Algorismi de Numero Indorum），开篇就道“花剌子米说”（Dixit algorismi）。接着，书里描述了各种计算指令的演算步骤， “算法”一词也源自本书，该词得自花剌子米的拉丁化名字。然而，他的这本著作和其他早期作品的译本在欧洲被当作危险的萨拉森魔法（Saracen magic），遭到了诸多反对。伊斯兰世界也十分不愿意改弦更张。尽管肯迪和花剌子米已引进了印度十进制，但阿拉伯数学家却更乐于继续使用他们最熟知的方法：要么坚持巴比伦六十进制计数法，要么固守用字母指示数字的希腊、罗马传统。 11这在天文历表中十分常见，天文学家以这种方式延续着他们从托勒密《天文学大成》等文献中习得的传统。花剌子米之后500年，十进制计数法仍被束之高阁，巴比伦的六十进制系统则继续广泛使用。我们以博学之人比鲁尼在1025年写成的地理学专著《城市坐标的确定》为例稍加说明。在该书中，比鲁尼十分严谨地推导着数学公式，并辅以适用的例子，比如展示如何确定比鲁尼生活的城市——阿富汗中部的加兹尼（Ghazna）的坐标，即根据巴格达和麦加的坐标来确定。纬度测定对比鲁尼这样的天才而言没有任何困难，并且他根据原始的转换技巧把所有六十进制整数转化为十进制整数进行计算。在当时计算经度难度更大，所有步骤都直接按照巴比伦的六十进制完成。使用六十进制的传统和惯例持续了数百年之久。出版于中世纪的阿拉伯文数学、天文学和地理学图表几乎不包含任何十进制数字。到14世纪，阿拉伯地理学家阿布·菲达（Abū al-Fidā ， 1273—1331年）汇编的经纬度表格还在使用六十进制。因此，人们几乎无法批评欧洲人在如此长的时间里一直拒绝使用印度–阿拉伯数字，因为伊斯兰世界也一样。很多科学观念的起源都笼罩着厚厚的历史迷雾，而在阿拉伯科学的语境下，这些观念上的困惑则包括从“他们不过传递了希腊和印度的知识”到“我们所知的一切都来自他们”等，不一而足，而最不确定也最迷人的一直都是数字0的起源问题。争论的缘起与支撑某个论点的证据存有矛盾并没有多少联系，也与论点缺乏证据没有太大关系，争论的根源在于“谁最早发现了零？” 。这个问题可能意味着不同的事情，问题的含义不同，答案自然也不同。因此，让我先把问题讲清楚：问题到底是：人们在何时首次使用符号或标记来表示数字中的空白占位符？或者，更具体地说：我们目前的十进制计数系统使用的这种空白占位符（比如用来表示数字11和101的区别）是何时出现的？占位符是否意味着人们首次认可了零作为表示无物存在（空或虚无）的哲学观念？或者，它是否意味着人们首次把零当作一个真正的数字，与其他任意数字具有同等地位，位于正数和负数的边界处？很明显，理解零这个概念的难度有所不同。我们并非在寻找一位早晨醒来突发奇想的数学家：“我知道我们的数字系统缺少什么了，那就是会让算术变得更加通用和有用的数字：零。 ”零的最粗浅定义是对一个数字内的进位制的定义。公元前2000年早期的古巴比伦人需要区别六十进制表格中的数字。他们从一开始就充分觉察到了使用的数字含义具有模糊性。以数字（1 ， 20）为例。它可能指的是如下任何一组数字：（甲）（1,20）,它表示 60×1+20=80（乙）（1,0,20）,它表示 3600×1+60×0+20=3620（丙）（1,20,0）,它表示 3600×1+60×20+0=4800如果人们并未把零放置在单元框的合适位置，我们何以知道其中的数字到底是多少？古巴比伦人用两种方式解决了这个问题。 1和10的楔形符号分别是和，因此，数字20写作，数字80或（1 ， 20）写作。但为了与数字3620或（1 ， 0 ， 20）进行区分，他们会直接在符号间留出足够的空隙表示零或空位：。当然，这仍未解决如何写作数字4800（1 ， 20 ， 0）的问题。他们的解决办法就是像写作（1 ， 20）时一样直接写出，并根据该数字书写的上下文，解释清楚该符号表示4800而非意指80 。很久以后，塞琉古巴比伦人以亚历山大大帝继承人的身份统治了美索不达米亚，他们发明了一个可取代古巴比伦人使用的这种模棱两可的“空隙”的符号。因此，在公元前300年的众多巴比伦楔形文字泥板上发现了已知的最早表示零的符号（）。然而，它仅用于分隔其他数字符号，这就像我们如今用零来区分25、205、2005一样。奇怪的是，塞琉古人与早先的巴比伦人一样，从不把这个分隔符置于数字末尾，而是将其放在其他数字符号之间。人们自然可以争论，首次使用表示零的符号究竟在何种程度上标志着数字零的真正发明。有趣的是，与十进制系统相比，六十进制很少需要用表示零的符号占据空位。在六十进制系统中，小于60的整数压根儿不会用到表示零的符号，小于3600的整数也仅用到59次（相比而言，十进制中则会用到917次）。因此，它对巴比伦人而言并非急需之物。而在世界另一侧的中美洲，稍晚于巴比伦人的玛雅人则用很少的符号（一个点代表数字1 ，一条线代表数字5）发明出了自己的二十进制（基数为20）数字系统。他们的点线组合可达19种，之后就往下一个单位进一。而且他们和巴比伦人一样，都使用一个表示零的符号作为占位符。此类记录的最早例子出现于公元前36年。受到古巴比伦天文学及相关的六十进制系统强烈影响的古希腊人，则用他们自己的字母表示整数，并用六十进制符号表示分数。为此，他们也需要一个表示零的符号，古希腊字母中第十五位omicron（类似于英语字母中的o）充当了此任。但在上述3种情况（古巴比伦人、玛雅人和古希腊人）中，表示零的符号都不是一个数字，甚至都未曾作为一个独立的概念出现。然而，在面对“谁首先发明了表示零的符号？”这种问题时，回答古巴比伦人就对了。那么，零作为表示空无（nothingness）概念的情况又当如何？当然，哲学上谈到的“虚空”概念在某种程度上可等同于数学概念中的零。如果的确如此，那就是古希腊人先人一步。杰出的数学史家卡尔·博伊尔（Carl Boyer）曾主张说，亚里士多德在公元前400年时就把零作为数学概念用于思考和写作了。 14亚里士多德在《物理学》（Physica）中从直线上的点的角度谈到数学上表示零的概念。亚里士多德还提到，由于物体的速度与其所在介质的阻力（或密度）呈反比，因而零无法作为被除数。如此，物体在真空（或虚空）中的速度会因为没有阻力而达到无限。亚里士多德声称，这证明了虚空不可能存在。因此，大约在同一时期，我们看到古巴比伦人发明了表示零的符号，而古希腊人首先描述了零的概念。我们现在来讨论把零当作独立的数字本身这个更为复杂的问题，古希腊人和古巴比伦人的观念必然因此而产生关联。许多历史学家认为，零作为数字出现是比较晚近的情况，就连花剌子米列出的方程式中的代数量也不含有零。相反，他总会让等式两边的数量保持在非零状态。举一个符号表征更明确的例子，他绝不会建立x2+3x−10=0 ，而会建立x2+3x=10这种等式。 x在这两种情况下的取值都是2 ，这两个等式之间不足道的区别只在于（根据花剌子米自己定义的规则）重新调整了数字10的位置。但前一个等式对他而言还相当陌生，因为“零”在当时尚不具备与其他数字同等的地位。尽管如此，人们通常还是认为零是作为十进制计数法的一部分从印度引入巴格达的。当然，印度人似乎早在505年时就已将零视为真正的数字而非单纯的符号了。直到那时，印度数字才包含了单独表示10、11等数字的符号，而正是零的发明才使得用单独的符号表示任意大于9的数字成为多余。很快，印度数学家就开始处理与零相关的代数运算了。婆罗门笈多在628年正确地指出，零乘以一个有限数仍得零，他还谈到零不可能成为任何数的除数。直到12世纪末，印度数学家婆什迦罗（Bhāskara）才正确地证明了任何有限数除以零的值都是无限。然而，伊斯兰数学家似乎恰好遗漏了数字零在代数中的用处。我们以x2 = 2x为例。这是一个可能存在2个根（x可取2个值）的简单二次方程式。很明显，其2个根为0和2——你将任一值代入x ，等式都“成立” 。但早期伊斯兰数学家并不承认x = 0是该等式的解。直到17世纪法国数学家阿尔贝·吉拉尔（Albert Girard）展开相关工作后，才发生了概念上的微妙飞跃。最后， “零”这个词的起源可追溯至印度语词sunya ，意为虚空，翻译为阿拉伯语则是sifr或空无，这个词仍用于现在的阿拉伯文之中。 sifr在13世纪初拉丁化后的写法为zephirum ，再后来逐渐演化成zero一词。但西欧的情况稍显复杂：阿拉伯语词sifr先是变为拉丁文单词cifra ，后变为英语单词cipher ，但这个词汇并不表示零，而是指任意印度–阿拉伯数字。后来，它被用作表示密码、含义模糊的文件，或是解密的方法，因此有了decipher（破译）一词。鉴于这种混乱情况，英语最终吸纳了意大利语单词zero（零）。《印度算术章节》（Kitab al-Fusūl fi al-Hisāb al-Hindī）是现存已知最早的阿拉伯文算术著作，本书记录了已知最早的小数点使用情况。这本伟大著作已知的唯一抄本于952年的大马士革完成，它现存于伊斯坦布尔的新清真寺图书馆（Yeni Cami Library）。该算术著作在数学史上的重大意义可能还鲜为人知。除了一些缺页和三篇未完成的章节（其中一章的内容与盲人计算板有关）外，该书包含230页字迹清晰的文本和数学运算内容。然而，这本书的作者并不出名。 10世纪历史学家兼传记作家伊本·纳迪姆（为阿拉伯学者立传）所著的《书目》立论可靠、内容翔实，但纳迪姆在书里也并未提及此人。此人名叫阿布·哈桑·欧几里得斯（Abū al-Hassan al-Uqlīdisi），名字里的欧几里得斯意指欧几里得（Euclid），暗示他与那位伟大的古希腊数学家之间存在关联。在众人看来，二人之间的联系就是他靠出售欧几里得的《几何原本》的阿拉伯文译本谋生，这一联系似乎与欧几里得斯精通欧式几何学无关（当然，尽管也无人确知实情究竟如何）。欧几里得斯是我们所知的第一位使用小数的数学家，他还提出用一个符号表示小数点（数字上方的斜杠）。欧几里得斯在该书的前言中解释道，他已经煞费苦心地描述了此前所有著作中运算分数的最佳代数方法了。这让我们难以确定小数的概念甚或书中使用的符号到底是作者的发现，还是应归于某位更早的数学家。不过，小数的观念或符号并非继承自印度人，因此我们还可以说，与十进制计数法或零不同，几乎可以断定小数是阿拉伯数学家的发明。一些现代历史学家低估了欧几里得斯的著作，他们声称，欧几里得斯只是在某些十分具体的例子中使用了小数，他并未充分意识到小数在算术中的重要地位。甚至有人认为，可怜的欧几里得斯只是不经意或偶然地使用了小数，远不及后来的数学家全面使用小数。这种观点过于苛刻，但在欧几里得斯之后的确出现了像萨马瓦尔（al-Samaw’al ，约1130—约1180年）这种更有成就的数学家，这位摩洛哥拉比之子兼数学天才在19岁时就写了一本代数学著作，他还以数学归纳法推进了验算的概念，并对二项式定理做出了重要贡献。对其他历史学家而言， 3个世纪后，写作百科全书式论著《算术之钥》（Miftāh al-Hussāb）21的伟大波斯数学家卡西（al-Kāshi）才首次全面地论述和使用了小数。有人甚至声称3世纪的中国数学家刘徽曾首次使用小数，尽管我们没有证据表明欧几里得斯熟悉中国数学。无论如何，使用过小数的已知最著名的中国数学家当属13世纪（比欧几里得斯晚2个世纪）的杨辉，尽管他并未用到小数点符号。有趣之处在于，欧几里得斯使用的记号十分接近于我们如今使用的小数点符号。他将179.685写作17685 ，即在个位数上加一撇。 25这种做法与后来卡西的著作形成鲜明对照，后者要么用不同颜色的墨水书写某数的小数部分，要么把数字写进表格，小数部分则占据单独的一列。而16世纪的佛兰德斯数学家西蒙·斯蒂文（Simon Stevin ， 1548—1620年）使用的符号则更为繁复，他会把欧几里得斯的以上数字写成1796①8②5③ ，圆圈中的数字表示个位、十分位、百分位和千分位，等等。在早于斯蒂文时代的15世纪欧洲文献中，我们也看到用一竖将数字的个位数与小数部分分隔开来的做法，比如179|685 。但我更偏爱欧几里得斯很早之前的标记方式。我们现在可以明白，整个小数系统的出现必须归于印度和阿拉伯数学家共同名下。印度人首次使用以10为基数，包含9个数字和零的位置系统，它并非埃及人、巴比伦人和罗马人通过点滴累积进而突然爆发的产物。然而，印度人并未将这个系统扩展至分数领域。正是由于阿拉伯数学家（用阿拉伯文写作的阿拉伯人和波斯人）对这套数字系统做出了重要贡献，我们才能十分恰当地称这些数字为印度–阿拉伯数字。有一点很重要，必须强调：“印度–阿拉伯数字”的命名里加入了“阿拉伯”字样，不仅仅出于印度数字经由伊斯兰世界传抵欧洲这一事实，它还有更丰富的含义。作者简介：吉姆·哈利利（Jim Al-Khalili），大英帝国勋章（OBE）得主，伊拉克裔英国理论物理学家。现任萨里大学（University of Surrey）物理学教授、“公众科学系列”讲座首位讲席教授。 2007年获得皇家学会迈克尔·法拉第科学传播奖，也是英国科学促进会的荣誉会员，曾获得英国物理学会“公众物理意识促进奖” 。生于巴格达的吉姆16岁之前在当地接受教育，也正是在这里，他从阿拉伯语老师口中首次听说了那些伟大的阿拉伯科学家和哲学家。吉姆长期致力于研究阿拉伯科学的黄金时代，希望人们能够明白，我们如今对科学的理解深受阿拉伯先贤的遗泽。内容简介：中国四大发明里的造纸术、火药、指南针，是经阿拉伯人传入欧洲的？哥白尼写作《天体运行论》时，也曾照搬阿拉伯科学家图西《天文学回忆录》中的相关重要章节？曾经，在长达700多年的时间里，阿拉伯语是西方科学世界流行的语言……哈利利以优雅的文笔记述了阿拉伯科学的黄金时代产生的伟大人物及其成就，多角度深入分析了黄金时代产生的原因。那些曾被遗忘、忽略的伟大人物，那些给予近代西方世界众多科学灵感的先哲，那些增进了人类对世界的认识的科学先锋，在哈利利细致的勾勒下重新焕发古老的荣光。这些伟大的人物有：在化学领域做出开创性贡献的贾比尔、科学方法的首倡者伊本·海赛姆、精确测量地球大小的伟大科学家比鲁尼、在数学领域做出巨大贡献的花剌子米（“代数学”一词便得自其名）、伟大的医学家拉齐，以及对西方世界产生巨大影响的伊本·西拿（阿维森纳），等等。哈利利希望通过这本书扭转世人对阿拉伯世界与科学关系的刻板印象，他始终以科学家的视角严谨审视这段历史，不断强调“科学方法”和“理性探求精神”这两个重要主题，生动地再现了新的发明和创造源源不断的黄金时代，并深刻反思了当下阿拉伯世界科学发展的现状。他为黑暗时代谱写了辉煌的篇章。——《文学评论》哈利利精通阿拉伯语和数学、物理，文学修养和科学素养兼备，他的叙述既灌注了深切的情感，又不失严谨。——《卫报》吉姆·哈利利总是满怀激情地向大众普及科学理论和科学发展史……正如西方世界的哥白尼和达尔文是全人类的精神文化遗产，阿拉伯世界的伊本·西拿、伊本·海赛姆也属于全人类的精神文化遗产。——《独立报》【悟虚至道注】十进制原型产生于《灵宝经》，中国元始创造了没有零，一到九，十百千万的十进制数。到殷商时期，彭祖家族受迫害流亡印度，他们家族成为主管祭祀和天文历法的专管世袭阶级，因此将中国数学原原本本传递到印度。

阿拉伯科学的黄金时代之数学篇

推荐阅读

穿搭|多多染金发被质疑，李嫣穿搭时髦，未成年星二代的时尚你怎么看？

第一财经|本周外盘看点丨美新一轮刺激何时落地？7月非农或引爆市场

辽宁卫视春节联欢晚会|湖南春晚正式官宣，周深坐实劳模称号，兔年限定主题曲，圈粉无数

ZAKER|目标价1000美元，分析师：维持特斯拉(TSLA.US)“中性”评级

香砂藕粉糊的功效与作用

|2020年便利店行业景气指数3年最低

女保镖|中国女保镖边梅，曾保护13国元首，现今52岁仍然单身

极具书香气息的女孩名字书香气息又秀丽端庄的女孩名字

梦见和军人在一起是什么意思梦见与军人在一起

权相佑方否认非法赌博-非法赌博罪怎么判

『乐居财经家居』一季度净利上涨37.05%，雅戈尔2019年营收124亿

你开学，我放价！苏宁金融APP推出天天抽新款iPad活动

王文也|华谊千金晒照身材，穿着大胆秀事业线

狗牯脑红茶怎么样,狗牯脑红茶功效

星际穿越票房破8亿|星际穿越票房破8亿诺兰2014年神作票房火力十足

决战|决战平安京三周年：版本大革新赛事更完善电竞热剧蓄力出圈

RabbitMQ——最常用的三大模式

私家车杂谈▲跑高速胎压升高怎么办？低压和高压哪个更容易爆胎

直播必备的7大工具怎样做直播都需要哪些工具

企业|疑似时代中国，CFO 与女子出租车不雅视频曝光！网友：女主给男主“吸毒”