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乔治葫芦娃|等腰三角形的存在性题目，与相似三角形相结合，综合性强


等腰三角形的存在性题目一般为几何综合题 ， 常与勾股定理、间隔公式等知识点相结合 ， 根据“三线合一”得到直角三角形 ， 也可与相似三角形相结合 ， 综合性强 。 等腰三角形常存在性题目一般有两种处理思路 ， 在2020年中考数学专题温习 ， 等腰三角形的存在性 ， 把握两种解题方法这篇文章中有具体先容 。
乔治葫芦娃|等腰三角形的存在性题目，与相似三角形相结合，综合性强
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例题：如图 ， 在△ABC中 ， ∠C=90° ， AC=12cm ， BC=16cm ， D、E分别是AC、AB的中点 ， 连接DE．点P从点D出发 ， 沿DE方向匀速运动 ， 速度为2cm/s；同时 ， 点Q从点B出发 ， 沿BA方向匀速运动 ， 速度为4cm/s ， 当点P住手运动时 ， 点Q也住手运动．连接PQ ， 设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列题目：
（1）当t为何值时 ， 以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？
（2）当t为何值时 ， △EPQ为等腰三角形？
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分析：以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似 ， 由图可知 ， △ADE为直角三角形 ， 要使得两个三角形相似 ， 那么以E、P、Q为顶点的三角形也必需是直角三角形 。 点P只能在线段DE上 ， 当点Q在线段BE上时 ， 以点E、P、Q为顶点的三角形为钝角三角形 ， 不可能为直角三角形 ， 那么两个三角形不会相似 。
当点Q在线段AE上时 ， △EPQ可能为直角三角形 。 三角形中有三个角 ， 本来每个角都可能是直角 ， 需要分三种情况讨论 ， 但是∠PEQ为锐角 ， 因此需要分两种情况讨论 。
当PQ⊥AB时 ， △EQP∽△EDA ， ∴PE：AE＝QE：DE ， 由题意得：PE=8-2t ， QE=4t-10 ， 即82t：10＝4t10：8 ， ∴t=41/14；
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【乔治葫芦娃|等腰三角形的存在性题目，与相似三角形相结合，综合性强】
当PQ⊥DE时 ， △PQE∽△DAE ， ∴PE：ED＝QE：AE ， ∴82t：8＝4t10：10 ， ∴t=40/13 ，
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第一小问可以看作是直角三角形的存在性题目 ， 利用直角三角形存在性题目的解题思路进行考虑 ， 然后借助相似三角形来解决问题 。
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第二小问为等腰三角形的存在性题目 ， 根据点Q的位置 ， 需要分两大种情况进行讨论 ， 每一大种情况中本来还需要分三小种情况进行分析 ， 但是当点Q在线段BE上时 ， △PEQ为钝角三角形 ， 只可能满意PE=EQ 。
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当点Q在线段BE上时 ， 由EP=EQ ， 可得8-2t=10-4t ， t=1．
当点Q在线段AE上时 ， 需要分三种情况进行讨论 。
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当点Q在线段AE上时 ， 由EQ=EP ， 可得8-2t=4t-10 ， ∴t=3．
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当点Q在线段AE上时 ， 由EQ=QP ， 过点Q作QH⊥DE交DE于点H ， 根据“三线合一”可得PH=HE=1/2PE ， 再根据△QHE∽△ADE得到：1/2（8-2t）：（4t-10）=4：5 ， ∴t=20/7．
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当点Q在线段AE上时 ， 由PQ=EP ， 考虑的方法与上一种情况一样 ， 根据“三线合一”得到两个三角形相似 。


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