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老王科技 另一个角度看量子计算：与弹球碰撞的惊人关联( 二 )


弹性球
这些复杂的量子操作似乎和弹性球没有关系 。 但是 ， Brown在研究与Grover算法相关的问题时看到了数学科普者GrantSanderson做的一个动画 ， 让他注意到了两者之间的相似性 。 Brown在自己的论文中表明这两个问题之间存在一种精准的映射关系 。
Sanderson的动画解释了东伊利诺伊大学数学家GregoryGalperin在2003年描述的一个出人意料的观察结果 。 在论文《PlayingPoolwithπ》中 ， 他想象有两个能在水平面上无摩擦地运动的理想弹性球 ， 它们能彼此以及与左侧的墙发生完全弹性碰撞（即总动能守恒） 。
如果右侧的球向左撞向左侧更轻的静止球 ， 则左侧小球会向左运动 ， 同时右侧大球的速度并不会变慢多少 。 小球会在撞上墙后反弹 ， 然后再次撞击大球 ， 这个过程会重复很多次 。 最后 ， 这样的碰撞会让大球调转方向 ， 直到它最终以比小球更快的速度向右远去 。
在此之前 ， 碰撞的次数会随着大球与小球的质量比的增大而变多 。 如果两个球的质量相等 ， 碰撞会发生3次：第一次右侧球会把所有运动转移给左侧球 ， 左侧球则在撞墙后反弹 ， 然后又通过碰撞将动量完全返还给右侧球 。 如果大球的质量是小球的100倍 ， 则该过程会发生31次碰撞 。 如果这一质量比为10000 ， 则会有314次碰撞 。 根据计算（这个实验无法实际进行） ， 质量比每增加99倍 ， 碰撞的次数除以质量比的平方根后就能让π的数字表示多一位数：3.141592654... 。
当Brown偶然看到Sanderson的动画（动画里使用的方块）时心里正想着Grover算法 ， 然后他发现两者之间存在显著的相似性 。 举个例子 ， Grover算法的两个量子操作可以分别对应于球球碰撞和球墙碰撞 。 质量比对应于数据库的大小 。 此外 ， 最终的结果是：操作数（或碰撞数）正比于π以及数据库规模（质量比）的平方根 。 （还有两个2的因数只是反映了两个问题的表记方法的差异） 。
除了在这两种如此不同的系统之间存在惊人的联系之外 ， π在这两种情况中究竟发挥了怎样的作用？当然 ， π这个无理数最出名的地方是它是圆的周长与其直径的比 ， 不过它也出现在椭圆以及球等更高维对象的对应比值中 。 定义球的方法之一是通过代数在横纵坐标x和y给出限定条件：半径为r的圆上的点满足限定条件：x2+y2=r2 。
事实证明 ， 不管是上面的碰撞问题 ， 还是Grover算法 ， 都具有这种形式的限定条件 。 球的碰撞或操作量子系统对应于由这些限定条件定义的圆上的旋转 。
例如 ， 对于两个质量为m（速度为v_m）和M（速度为v_M）的弹性球 ， 弹性碰撞会保留两者的总动能 。 完全保留大球的动能需要在坐标v_m和v_M的平面中进行180°转向 ， 而180°就等于π弧度 。
类似地 ， 在量子系统中 ， 观察到某个特定结果的概率正比于对应该结果的「波函数」的平方 。 目标与其它所有结果的概率（振幅平方）之和必然为1 。
历史上的其它关联案例
也许有人要问：「这能针对世界的本质提供重要见解吗？还是说只能满足一点好奇心？」Brown表示 ， 「也许对Grover算法能为我们提供有关世界本质的重要知识 ， 也许弹性球研究是为了满足好奇心 ， 或许将它们联系起来的原因更多的是第二个 ， 而不是第一个 。 」
尽管如此 ， 有时候这样的联系还是能引出一些重大进展 ， 在物理和数学历史中已有为数不少的案例 。 举个例子 ， 物理学家已经投入了20多年时间探索强相互作用的多粒子量子系统与整合了高一个维度的弯曲时空的引力模型之间的惊人对应关系 。 甚至时空中的虫洞有望解答与量子力学中远距离粒子「纠缠」相关的悖论 。
数学常常通过与不同领域之间的联系得到发展 。 例如 ， 涉及一个简单方程的整数解的费马大定理直到几个世纪之后才得到证明 ， 而使用的方法来自「椭圆曲线」 。 再举个例子 ， 计算机科学家在一月份证明了一个与阿兰·图灵的可决定计算概念有关的定理 ， 这又进一步给其它看似无关的领域带来了冲击 。


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