是不是存在这样一个永远不会被踩到的点
规范一下表述：任取N个两两不等的正实数，分别记为
、
，若存在正实数A，当N→∞时，对任意i、j，A满足A≠j
（j为正整数，i为正整数且i\u0026lt;N），则称A为“不会被踩到的点”。“不会被踩到的点”是否存在？给出证明。
（这里N代表人数，
代表第i个人的步幅，j代表第i个人走的步数，A代表不会被踩到的点距起点的距离。）
存在。证明如下
证明：不妨将j 【是不是存在这样一个永远不会被踩到的点】
以小数形式表示：j
=
（i、j为正整数，且i\u0026lt;N）
构造：A=0.
满足：
≠
,|k|=(i+j)(i+j-1)/2+1-j （这样可保证有序数对（i，j）到|k|的映射是一一对应的，比如（1,1）对应1，（3,1）对应6...）
显然，无论i、j如何取值，j
均不可能等于A。（因为二者至少有一个小数位不相等），A满足题意，为“不会被踩到的点”。
如此，构造出来的A既不可能等于任何一个人的步幅，也不可能等于任何一个人步幅的整数倍，所以这个点是不会被踩到的。
实际上，这样我们还发现这样的点不仅存在，而且存在无穷多个。因为我们构造出的A有无穷位小数，而每一位都有9种取法。
■网友的回复
当然，如果每个人的步幅都是有理数，每个人都脚印视为数轴上的一个点，所有人从0出发，那么任何无理数都不会被踩到。
■网友的回复
无穷悖论
理论:无穷的时间里无穷个人踩出无穷个点，但是坐标轴上点的个数也是无穷的，那么前者无穷点能否覆盖整个坐标轴？
现实:每个人踩一脚大约覆盖75cm2，请问我们学校昨天下的雪为什么今天变成平滑的冰面了？
■网友的回复
“足够多的人”是多少？可数多个还是连续统还是更多？
如果是可数多个人，踩出的点也是可数集，这时候几乎所有的点都没有被踩到噢~
■网友的回复
当这个点不存在时，就永远不会踩到。然后考虑不存在的点应该是什么情况。
其实还可以转换下，即一个人有无限时间一直在一条无限长的路上行走，那么他永远不会路过的是哪个点。
简单逻辑上可以考虑到，是终点，终点永远不会路过。同时这个点在概念上应该是存在的，却实际上不存在，因为无限的线即使有起点也不会有终点。所以永远不会路过。
那么回到题主的问题，在一条足够长的马路上，则可以认为无限长。有足够多的人，则可以认为人数无限。那么足够长的时间随机踩，则一定也存在永远不被踩到的点，这个点等同于转换问题中的终点，是一个概念上存在，实际也“不存在”的点。
但这个点在哪里？这个点并不像终点那样有固定的方位，而是随机的。这个点可以认为只有一个，但马路上的任何一个点都可能是它。或者说它是“最后一个可能被踩到的点”，在概念上存在，实际上永远踩不到。所以这个点存在，位置不定。
■网友的回复
不管你步幅变不变，只要两步之间有时间间隔，无限时间内一个人能走到的点就只能是可数个，而你只有至多可数个人，全部并起来就只能踩到可数个点。实数集是不可数集。
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