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今日必看|分析学的5大“步”：微积分到函数论、泛函分析、微分方程


微积分
微积分是研究函数的微分、积分性质及其应用的数学分支学科 ， 并成为数学其他分支的基础 ， 也是其他自然科学和工程技术的必备工具 。 现在微积分学教程 ， 通常的目录次序是极限、微分、积分 ， 正好与历史顺序相反 。 微积分最初关注的题目是计算面积、体积和弧长：
公元前3世纪 ， 阿基米得“穷竭法”最接近于积分法 ， 用于计算圆周率及面积、周长；1609年 ， 开普勒借助某种积分方法 ， 计算了行星运动第二定律中包含的面积 ， 和酒桶的体积；1635年 ， 卡瓦列利发表不可分元法的论文 ， 提出卡瓦列利原理 ， 用于计算面积和体积；1650年 ， 沃利斯把卡瓦列利的方法系统化 ， 并进行推广 。
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微分起源于作曲线的切线和函数的极大值、极小值题目 。
首位真正的前驱工作是 ， 费尔马于1629年陈述的概念；1669年 ， 巴罗使用了微分三角形 ， 这已经很接近现代微分法 。 同时 ， 他也是首个充分认识到微分法与积分法是逆运算的人 。
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微积分后续的发展与完善工作 。
牛顿和莱布尼兹彼此独立地创造一般的符号和一整套形式的解析规则 ， 形成可以应用的微积分学；到17世纪末 ， 大部分微积分内容已经建立起来 。 1696年 ， 洛比达出版第一部微积分教材；1769年 ， 欧拉论述了二重积分；1773年 ， 拉格朗日考察了三重积分；1837年 ， 波尔查诺给出了级数的现代定义；19世纪 ， 柯西奠基了分析学的严谨化 。 好比他给出极限、连续性定义 ， 将导数定义为差商的极限、定积分定义为和的极限等等；在柯西工作的基础上 ， 威尔斯特拉斯给出了现在使用的精确的极限定义 ， 并同狄德金、康托尔于19世纪70年代建立了严格的实数理论 ， 使微积分建立在了坚固的基础上 。
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关于微积分创立的优先权 ， 牛顿和莱布尼茨之间还有过激烈的争论 ， 请参考：微积分首创的荣誉应该归于谁？莱布尼茨和牛顿都是“生父”！
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复变函数论
复数产生于于16世纪 ， 其广泛运用在于18世纪 。 其中复变函数就是把复数作为自变量 ， 主要研究解析函数的性质 。 复变函数的研究始于18世纪 ， 于19世纪得到全面发展 。
18世纪三四十年代 ， 欧拉利用幂级数讨论了初等复变函数的性质；1752年 ， 达朗贝尔得出复变函数可微的必要条件；拉普拉斯考虑过复变函数的积分；1825年 ， 柯西讨论了虚限定积分 ， 1831年推出了柯西积分公式 ， 并依此建立了一整套复变函数微分和积分的理论；1851年 ， 黎曼的博士论文《复变函数论的基础》 ， 奠基了复变函数论 。 他推广了单位解析函数到多位解析函数；引入了“黎曼曲面”的重要概念 ， 确立了复变因数的几何理论基础；证实了保角映射基本定理；威尔斯特拉斯完全挣脱了几何直观 ， 以幂级数为工具 ， 用严密的纯解析推理展开了函数论 。 并将解析函数定义为可以展开为幂级数的函数 ， 围绕着奇点对函数性质进行研究 。 现代 ， 复变函数论是解决飞机飞行理论、热运动理论、流体力学理论、电场和弹性理论等工程技术题目的有力工具 。
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实变函数论
实变函数的发展较晚 ， 其中积分论是其重要组成部分 。 作为线段长度概念的推广 ， 引入了容度和测度 ， 推广了积分的概念 。
1893年 ， 约当给出了“约当容度”的概念 ， 并用于讨论积分；1894年 ， 斯提捷首先推广了积分概念 ， 得到“斯提捷积分”；1898年 ， 波莱尔改进了容度的概念 ， 并称之为‘测度”；1902年 ， 勒贝格改进了测度理论 ， 建立了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”等概念 。 1904年 ， 他完全解决了黎曼可积性的题目 。 函数构造论是实变函数的另一个活跃领域 。 1885年 ， 威尔斯特拉斯证实：连续函数必可表示为一致收敛的多项式级数 。 威尔斯特拉斯的这一结果和切比雪夫斯基最佳迫临论 ， 是函数构造论的开端 。
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泛函分析
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满意各种拓扑和代数前提的映射的分支学科 ， 形成于20世纪30年代 ， 是从变分题目 ， 积分方程和理论物理的研究中发展起来的 。 它综合运用函数论 ， 几何学 ， 现代数学的观点来研究无穷维向量空间上的函数 ， 算子和极限理论 。 它可以看作无穷维向量空间的解析几何及数学分析 。
有关泛函分析的更多内容 ， 请阅读：泛函分析：n维空间到无限维空间的几何学和微积分学
微分方程


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