相亲|数学家的相亲模型，你或许可以用到，相亲不够有效的原因在此( 三 )
选中第i个佳丽的可能性是多少？取决于第i个佳丽被选中的条件，那应该是当且仅当第i个佳丽比前面i－1个都要更好，而且前面的人尚未被选中的情形下才会发生。也可以说，第i个佳丽被选中，当且仅当第i个佳丽比之前的“临时最佳者”更好，并且这个临时最佳者是在最开始被忽略的r－1个佳丽之中。因为如果这个临时最佳者是在从r到i之间的话，她面试后就应该被选中了，然后就停止了“相亲过程”，第i个佳丽不会被面试。
此外，这第i个佳丽是“#1”的可能性是多少呢？实际上，按照等概率原理，每个佳丽是“#1”的可能性是一样的，都是1/n。因此根据上面的分析，我们便得到了图3-5-1所示的选中“#1”的概率公式。
从公式可知，选中“#1”的概率是傻博士策略中开始认真考虑的那个点r的函数。读者不妨试试在公式中代入不同的n及不同r的数值，可以得到相应情况下的Pn（r）。比如说，我们前面所举的当n＝100时候的两种情形：P100（2）大约等于6/100；P100（99）大约等于2/100。
下面问题就是要解决：r取什么数值，才能使得Pn（r）最大？如果我们按照图3-5-1中的公式计算出当n＝100时，不同r所对应的概率数值，比如令r分别为2，8，12，22，…，将计算结果画在Pn（r）图上，如图3-5-2（a）所示。我们可以将这些离散点连接起来，成为一条连续曲线，然后估计出最大值出现在哪一个点r。这是求得P（r）最大值的一种实验方法。
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然而，我们更感兴趣从理论上分析更为一般的问题，那就要用到微积分了。如果能给随机变量建立一套类似于普通微积分的理论，让我们能够像对普通变量做微积分那样对随机变量做微积分就好了。
在普通微积分里面，最基本的理论基础是“收敛”和“极限”的概念，所有其他的概念都是基于这两个基本概念的。对于随机过程的微积分，在数学家们建立了基于实分析和测度论的概率论体系之后，就可以像当初发展普通微积分那样先建立“收敛”和“极限”这两个概念。与普通数学分析不同的是，现在我们打交道的是随机变量，比以前的普通变量要复杂得多，相应建立起来的“收敛”和“极限”的概念也要复杂得多。
在随机微积分中的积分变量是随机过程，比如说无规行走。无规行走是时间的一个函数，却有一个特殊的性质：处处连续但是处处不可导，正是这个特殊的性质使得随机微积分与普通微积分大不相同。
实际上，随机微积分一般都既牵涉到普通变量时间t，又牵涉到随机变量W（t）。所以，进行随机微积分时，如果碰到跟t有关的部分就用普通微积分的法则，而碰到跟W（t）有关的部分时就使用随机微积分的法则。
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变式---炮灰模型
来源于1949年的一个数学家提出的未婚妻模型。两者本质是一样的。下面介绍下未婚妻模型。
先做几个假设：
1. 相亲男在打算谈恋爱到结婚的这段时间里（[0,m],m是时间点），假设可以遇到N个女生。比如，N = 0,1,2,3...这个N个人中的某一个，就是你的未婚妻。
2. 这N个女生，虽有优劣，均是随机的被相亲男碰到的。
3. 相亲男碰到的每一个女生，均有两种选择，要么表白，要么拒绝。一旦表白，则结束这个“征婚游戏”；一旦拒绝，则继续考虑下一个女生。（根据事件独立性原则，不考虑脚踏两只船的情况）。
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一般情况下，相亲男会跟前几个女生都接触下，试试水，同时逐渐了解下自己的需求，再开始认真考虑，从下一个开始，只要一碰到一个女生比自己之前遇到的人都合适，那么就表白，其发展关系。
这个问题就变成了数学问题：先拒绝前k个人（k<=N-1），从k+1个人开始，一旦看到比之前所有人都要好的人，就毫不犹豫地选择。
那么，这个问题就变成了，如何确定k值，使得未婚妻出现的概率最大（即P(k)最大）。
算法如下：
我们假设，未婚妻出现在第i个位置。 一般情况下，每个人被选择的概率，是1/N。
因为要拒绝掉前k个人，那么k <i<=N，以及 k<=i-1。又因为，未婚妻比前k个人都要好，这种选择的概率为k/(i-1)。未婚妻出现的总概率为P(k) = Σ(1/N)(k/(i-1)) = (k/N)Σ(1/(i-1))。其中求和从i=k+1开始。
（后面实际上是一个调和平均数）。啰嗦一句，调和平均数的本质在于总体等效。比如，初中时候的并联电阻。其关键一点在于，在一个等效系统中，最重要的是考虑弱小的一方。有点类似短桶效应。
举例子：比如，相亲男要进行20次相亲，即N = 20，他打算与前3个进行试探下，并不打算表白。即k=3。那么P(k=3) = (3/20)[1/(4-1)+1/(5-1)+1/(6-1)+...+1/(20-1)]=我就不计算了。
用 x 来表示 k/n 的值，从极限角度考虑，当N = 无穷大时，上述P(k)可以用微积分写：P(x) = x∫(1/t)dt = -xlnx
求最大值嘛，那么就求导，对P(x)求导，就是对-xlnx求导，求导后令x=0,得到P(x)的最大值就是P(k)。
这个最大值为：(1-1/e) = 1/2.718 = 1- 0.3679 = 0.6321
换句话说，如果相亲男拼命去相亲（N = 无穷大），最多有63.21%的概率，碰到自己认为最合适的未婚妻。
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