算法与数学之美|从群论角度理解欧拉公式( 二 )

当然对于数字4 ，假设原点不动，你也可以把他的关联作用看成是数轴上的1点被扩张四倍，这里不再作图展示。

在这个群里，每个压缩扩张作用都和唯一的实数关联，这个群同样有个特殊的名字“正实数乘法群” ，如果我们将这个结果扩展到复数域会怎么样呢？例如2+2i ，我们一起来尝试一下，同样，假设原点不动：

本文插图

然后，进行缩放：

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这次我们发现一个问题，无论我们怎么压扩， 1点都无法离开实轴，所以，这个群不只有压缩扩张，还存在旋转。

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我们注意到，假设原点不动， i关联的作用是将1旋转90° 。所以与 i 对应的乘法为旋转90° 。如果我进行两次旋转，即让平面旋转180°：

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我们发现复平面上的任何一个点都可以通过先旋转，再缩放的形式求得，而这个群称为“复数乘法群” 。举个例子：点2+i

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你可以这么想：我们先旋转约26.59°：

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然后再放大（根号5）倍：

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数字，不管是实数还是复数，都可以看作两个不同方式的群，他们既可以通过滑动得到，此时，群运算看上去是普通的加法运算；也可以通过旋转和缩放得到，此时，群运算看上去是普通的乘法运算。
幂运算
还记得你第一次学习幂运算时，老师怎么解释的吗？
是两个2相乘。
是三个2相乘。
是两个2乘上三个2 ，共五个2 。
不失一般性，对于正实数来讲：
但是，当数域被扩充，我们会遇到幂是-1 ， 1/2 ，甚至是i 。前两者，我们让他们满足刚刚的公式，例如：定义为，因为所以，这种定义叫做“保持群结构” ，有时我们会叫他为“良定义” 。用原有思考方式很难得到i为幂的定义，但我们这样思考：
假设，函数是映射关系，我输入x ，他输出。比如，我输入2 ，他输出4 。当我输入i的时候，他会映射到，这是一种我们没有见过的映射，根据以上启发，与i相关的运算可看成旋转。此时数学家想到，把虚轴映射成一个圆从而解决幂是虚数的问题。

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将垂直滑动映射成旋转，即将直线上的复数，也就是i的倍数，映射到单位圆上的复数。记得实数上e的定义是什么吗？对的，单位时间的增长倍数（如果这个地方不懂，请查看我前期文章：指数函数与自然对数）。为“保持群结构” ，把直线1单位增长映射到圆上1弧度增长，即：。同理，直线2单位增长映射到圆上2弧度增长，即：。直线π个增长映射到圆上π个弧度，即：，即走过半个圆，这就是数字-1：
前期解疑
Q：自然对数与指数函数的关系，写得最好的是柯朗和约翰《微积分和数学分析引论》第一卷第二章。
A：笔者也很喜欢柯朗的《微积分和数学分析引论》，我也推荐大家看柯朗的其他作品《什么是数学》《物理数学方法》等。