算法与数学之美|从群论角度理解欧拉公式

北京联盟_本文原题：从群论角度理解欧拉公式
欧拉公式是我认为最美的公式，没有之一。他将自然底数e、圆周率π、虚数单位i、自然数的起始1用等号联系在一起，仿佛解释了世上数与数的关系。
前段时间我们讲解了的内涵，今天我们来讲的含义。
如果你稍微学过数学分析或者高等数学，想必你应该知道如下公式：
当你学习这个公式的时候，你是否想过这个公式背后有哪些不可告人的秘密呢？华罗庚曾经写过这么一首诗：
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；
数无形时少直觉，形少数时难入微；
数形结合百般好，隔离分家万事休；
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
所以，公式是不可思议的咒语，我们找到他背后的“形”来解开他的秘密。
基础群论
群论是研究对称性本质的一个领域。
例如正方形是一个对称图形，什么意思呢？换句话说，你在正方形上施加哪些作用能使他和原来一样。例如：
将他旋转90°
以中轴为中心翻转
我们把每一个作用称为“正方形的对称性” ，而所有的对称性的组成是一个“对称群” ，简称为“群” 。
同样，对于一个圆形来说，它以任意角度旋转都是对圆形的对称作用，这些作用落在 0到 2π 之间，这个我们称之为“旋转群” 。这些作用的好处是，一个作用与圆上的一个点都是一一对应（也叫“映射”）的关系。
当然群论不只是研究一个对称集合是什么，群论的核心是了解对称性之间如何相互影响。例如：
在圆上，先逆时针旋转270° ，再逆时针旋转120° ，其效果等价于你直接逆时针旋转30° 。
所以在圆的旋转群中， 270°+120°=30° 。
总的来说，群中存在某种运算使得作用A“加上”作用B等价于作用C 。
加法群和乘法群
上面讲的东西都太过于陌生，我们来讲大家熟悉的东西——数。数包含了两个群：加法群和乘法群。
对于一条直线来说，对他进行左右滑动操作都能使他与原来重合，这个群也叫：直线的对称群。他像圆一样，每个作用和直线上的每个点形成映射关系。举个例子：