悖论|刘翔追不上乌龟？芝诺悖论图解( 二 )
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以现实的态度理解“瞬间”这个概念就行。假设芝诺所说的“瞬间”可以用照相机拍下来，只要曝光及快门速度正确，每一张照片里，飞行的箭似乎“确实”是“不动”的。但是，这正是造成我们错觉的所在。不管照相机多么先进，不管高速摄影快门速度多块，现实之中，它永远不可能是零。
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“芝诺悖论”之所以被称之为“悖论”，他自己也被后世称为“诡辩论者”，是因为他的悖论完全违反常理，但是，人们又不知道如何才能反驳他。
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在微积分中有一个重要的概念叫做“无穷小”，数学符号写作“dx”。把无穷小的概念与零混淆，是初学者最容易犯的错误之一，虽然无穷小与零无限接近，但若把两者等同起来，得到的结果将是天差地别，比如出现飞矢“动”与“不动”的矛盾。
【老蝉按：数学中无穷小（量）的概念已经解决了芝诺悖论问题。无穷小的定义涉及极限的定义，下面写出几个相关的定义，数学恐惧症可忽略下文（另，很多教科书和科普书，都已经不介绍无穷小这个概念了，因为现代极限概念的严格定义已经完全可以取代无穷小，但作为过渡性理解，还是有必要对无穷小进行介绍，像菲赫金戈尔茨的《微积分学教学》里就保留了无穷小的内容。）
数列极限定义（
定义）：
若对于预先给定的任意小数ε，总存在一个正整数N，使得当
时，不等式
成立，
则称 α 为数列
当
时的极限，记作
或
函数极限定义（
定义）：
若对于预先给定的任意小数ε，总存在一个正数 δ，使得当一切 x 适合不等式
δ时，不等式
恒成立，
则A就叫函数 y=f(x) 当
时的极限。
记作
或 无穷小（量）定义：
称极限为零的【变量】为无穷小量，（无穷小是无穷小量俗称，它是一个变量）
若对于预先给定的任意小数ε，总存在一个正数δ（或正整数N），使得当一切x适合不等式
δ（或|x|>N）时，
不等式 |α(x)|
则α(x) 当
（或x∞）时为无穷小量。
记作
或
注意：
1.无穷小量不是一个数，它是一个变量。
2.零可以作为无穷小量的唯一一个常量。
3.无穷小量与自变量的趋势相关。
不要把无穷小量误认为“很小的常量。任何常量除去零以外，无论它的绝对值怎么小，总不是无穷小 （参考上面的
、
定义）。
可见数学对学习哲学是多么重要啊】
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我们可以说，“芝诺悖论”在古希腊出现之后，经历了2000年左右，才由牛顿、莱布尼茨等人的微积分学找到了真正错误所在。
以现代物理学的角度来看，芝诺的“无穷小”也是不成立的，如庄子所言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”，在数学上虽然讲得过去。但严格来说，空间与时间是不能无限细分的，当细分到普朗克尺度时就已经没有现实意义了。
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芝诺“以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。”芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辨证的考察。
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芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉。数学史家F．卡约里(Cajori)说，“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史。”
【 悖论|刘翔追不上乌龟？芝诺悖论图解】
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