龙猫|欧拉是如何破解当时的世纪数学困难(巴塞尔题目)的( 二 )
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如何乘以一个无限积？我们需要确定常数a 。
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现在我们利用以下极限:
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然后我们计算表达式的第二部门在x=0处的值 。
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我们把a的每一个因子分摊到sinx的因子中
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把它展开 ， 一次加一个因子 。 这会得到一个只有奇指数的多项式 。 我们想知道x的系数 。
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再加入第4个因子 。
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快做完了：
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在我们发现自己被这些术语沉没之前 ， 记住 ， 我们只是在寻找X^3的系数 。 每次乘法 ， 我们都加一项 。 你能看到下一个会是什么吗？
这是x的系数：
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麦克劳林展开式的x^3系数为6 。 让我们让它们相等：
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【龙猫|欧拉是如何破解当时的世纪数学困难(巴塞尔题目)的】但欧拉不止于此 。 他为所有的偶数幂倒数建立了通解 。 你可以按照这里描述的程序来求倒数四次方的和 。 至于奇数倒数 ， 这仍旧是个谜 ， 我们还在等待有人来破解这个困难 。 也许你会成为那个人 。
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