穿搭讲究|曾经被以为无用的理论, 解决了费马大定理, 20世纪最闻名的证实
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数学家可以通过用更简朴的概念来表示复杂对象 ， 好比这里所示的李群（数学术语 ， Lie group） ， 从而更好地理解它们的各个方面 。
当“表示理论”在19世纪末泛起时 ， 很多数学家质疑它的价值 。 1897年 ， 英国数学家威廉·伯恩赛德写道 ， 这种非正统的观点根本不会产生任何新结果 。
悉尼大学的乔迪·威廉姆森在2015年的一次演讲中说：“基本上（伯恩赛德）说的是“表示理论”是没有用的 。 ”自一个多世纪以来 ， “表示理论”一直是很多最重要的数学发现的枢纽成分 。 然而 ， 它的用处在一开始仍是很难被察觉 。 德国凯泽斯劳滕技术大学的艾米丽·诺顿说：“研究这个题目是否公道 ， 现在还不清晰 。 ”
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“表示理论”是一种把复杂的事物用较简朴的事物“表示”的方法 。 复杂的对象通常是数学对象的集合 ， 好比数字或对称性 ， 它们彼此之间有着特殊的结构关系 。 这些集合称为群组 。 比较简单的对象是称为矩阵的数字数组 ， 它是线性代数的核心元素 。 群组是抽象的 ， 通常很难把握 ， 而矩阵和线性代数是基本的 。
“数学家基本上知道关于矩阵的一切 。 它是为数不多的被完全理解的数学科目之一 。 ”波士顿大学的杰瑞德·温斯坦说 。
要了解如何用矩阵表示群组 ， 有必要依次考虑每个对象 。
首先 ， 举一个简朴的例子 ， 考虑一个等边三角形的六种对称性：
两个旋转对称（120度和240度）
三种反射对称（从每个顶点绘制的线穿过对边的中点）
一个恒等对称 ， 对三角形不做任何改变
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这六种对称形成了一个关闭的元素宇宙——一个群组——它的正式名称是S_3 。 它们组成了一个组 ， 由于您可以按任意顺序将任意数目的它们应用到三角形中 ， 并且终极结果将与仅应用一个对称性相同 。 例如 ， 先反射三角形 ， 然后将它旋转120度 ， 重新排列顶点 ， 就像你仅仅执行了一个不同的对称变换一样 。
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数学家将两种对称的结合称为合成：一组(反射)与另一组(旋转)的一个组合产生第三组（不同的反射） 。 你可以像数学家一样 ， 把合成看作是乘法运算 。
假如考虑非零实数 ， 这是最轻易看出的 ， 它们也构成了一组 。 实数有一个单位元素—（数字1） 。 任何与1组合或乘以1的实数保持不变 。 你也可以乘任意实数的组合 ， 以任何你想要的顺序 ， 乘积老是一个实数 。 数学家们说 ， 实数组在乘法下是“关闭的” ， 这意味着你不会仅仅通过元素的乘法就离开这个群组（实数集） 。
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自19世纪30年代被发现以来 ， 群组已经成为数学中最重要的对象之一 。 它们编码质数、几何空间和几乎所有数学家最关心的东西的信息 。 要解决一个重要的题目 ， 往往需要理解与之相关的特定群组 。 但是大多数群组比等边三角形的对称群组更难理解 。 例如 ， “李群”包含无穷多个元素 ， 而不是六个元素 。
这就把我们带到了“表示理论” ， 它把有时神秘的群组的世界转换成充分约束的线性代数领域 。
线性代数是对称为“向量”的对象进行简朴变换的研究 ， 向量是有向线段 。 这些对象是由坐标定义的 ， 坐标可以以矩阵（一组数字）的形式显示 。 当另一个矩阵应用到这个向量时 ， 就会发生变换 。 例如 ， 应用矩阵：
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到一个给定的向量 ， 将它扩大2倍 。 这是一个“线性”变换的例子 。
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其他矩阵执行不同类型的线性变换 ， 如反射、旋转和剪切 。 还有一个保持向量不变的“恒等”矩阵（正如恒等对称使得三角形不变 ， 数字1使得其他实数不变）：
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线性代数指定了这些转换背后的算术 。 矩阵的乘法、加法和减法就像我们对正则数进行这些运算一样简朴 。
“表示理论”根据一定的规则 ， 为群组中的每个元素分配一个矩阵 ， 从而在群组理论和线性代数之间架起了一座桥梁 。 例如 ， 必需将群组中的单位元素分配为单位矩阵 。 分配还必需尊重群组中元素之间的关系 。 假如一个反射乘以给定的旋转即是第二次反射 ， 那么分配给第一次反射的矩阵乘以分配给旋转的矩阵必需即是分配给第二次反射的矩阵 。 符合这些要求的矩阵集合称为群组的表示 。
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