穿搭讲究|曾经被以为无用的理论, 解决了费马大定理, 20世纪最闻名的证实( 二 )
该表示提供了一组简化的图像 ， 就像黑白图像可以作为原始彩色图像的低成本模板 。 换句话说 ， 它“记住”了关于这个群组的一些基本但重要的信息 ， 却忽略了其他的信息 。 数学家的目标是避免纠缠于一个群组的全部复杂性；相反 ， 他们通过观察它在转化为简化的线性变换格局时的行为来了解它的性质 。
一个群组几乎老是可以以多种方式表示 。 例如 ， S_3在使用实数填充矩阵时有三种不同的表示：简朴表示、反射表示和符号表示 。
数学家将给定群组的表示形式收拾整顿成一个表（称为字符表） ， 该表总结了有关组的信息 。 行引用每个不同的表示 ， 列指的是这个表示中的重要矩阵：分配给组中的单位元素的矩阵 ， 以及分配给组中“天生”元素的矩阵 ， 这些元素一起产生所有其他元素 。 表中的条目是一个称为每个矩阵的“trace”的值 ， 通过对从矩阵左上角到右下角的对角条目乞降来计算 。 下面是S_3的三种表示形式的字符表 。
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【穿搭讲究|曾经被以为无用的理论, 解决了费马大定理, 20世纪最闻名的证实】字符表提供了该组的简化图 。 其中的每个表示提供的信息略有不同 。 数学家将各种观点结合成一个整体印象 。 诺顿说：“你有许多不同的表征 ， 它们记住不同的东西 ， 当你把所有的信息放在一起时 ， 你就能在某种意义上看到你的团队的这种万花筒般的画面 。 ”
对于数学家来说 ， 上面的字符表就是S_3中的字符表 。 但有时同一个字符表可以表示多个组 。 在那些模棱两可的情况下 ， 数学家们可以使用其他工具 。 一种是改变他们创建表示法的数字系统 。 上面S_3的表示涉及到具有实数项的矩阵 ， 但是您也可以使用复数项 。 事实上 ， 大多数表示理论都是这样的 。
一些最有效的表示法既不涉及实数也不涉及复数 。 相反 ， 他们使用的是带有“模块化”数字系统的条目的矩阵 。 这是时钟算术的世界 ， 在这个世界里 ， 7 + 6环绕12小时的时钟即是1 。 具有相同字符表（使用实数表示）的两组可能具有不同的字符表（使用模块化表示） ， 从而答应你将它们区分开来 。
今天 ， “表示理论”是很多数学领域的中央工具（代数 ， 拓扑 ， 几何 ， 数学物理和数论等） 。 这种表示理论的哲学在20世纪下半叶已经吞噬了大量的数学 。
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表示理论在安德鲁·怀尔斯1994年对费马最后定理的里程碑式证实中施展了重要作用 。 题目是关于a^n + b^n = c^n这种形式的方程是否存在整数解 。 怀尔斯证实当n大于2时 ， 不存在这样的解 。 然而 ， 直接证明它的不存在太难题了 。 相反 ， 怀尔斯使用的是一组模块表示 ， 假如群组存在的话 ， 这些表示就会被附加到组上 。 他证实了这一族模表示不存在 ， 这意味着群组不存在 ， 这意味着解也不存在 。
这也就意味着 ， 在威廉·伯恩赛德以为表征理论无用的100年后 ， 它成为了20世纪最闻名的证实理论的枢纽组成部分 。 温斯坦说:“我无法想象费马最后定理的任何证实 ， 都与表示理论无关 。 ”
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