神剧解说|1道初中数学竞赛题: 解方程组。正确率不到5%, 变形是枢纽
大家好！今天和大家分享一道初中数学竞赛题：解方程组 。 这道题的难度仍是相称大的 ， 据说正确率不到5% ， 可以说是难住了不少考生 。 下面我们一起来看一下这道问题 ， 问题见下图 。
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看到这道题后 ， 不少同学感觉有些懵 ， 由于这是一个三元三次方程组 ， 书本里根本没有涉及到 。 不外 ， 仍是有不少同学一眼就看出了该方程组的一组解：x=y=z=0 。 但是这个方程组是不是只有这一组解呢？所以还需要更加严谨的解题过程 。
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下面先容两个解法 。
解法1：
很显著 ， x、y、z都为零时是方程组的一组解 ， 所以接下来需要讨论不都为零的情况 。
先假设x=0 ， 那么代入方程组后可以得到y=0、z=0 ， 也就是说x、y、z要么都为零 ， 要么都不为零 。
当x、y、z都不为零时 ， 可以将每个方程左边的平方项除到左边 ， 而把左边的一次项除到右边 。 然后再将三个方程相加 ， 接着将等式右边的移到左边 ， 并配方可以得到三个完全平方相加为零的式子 。 也就是说各个平方项都为零 。
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总结：①x、y、z都不为零时也可以简朴地用xyz≠0来表示；
②这个解法的难点有两点：一是将右边的平方项除到左边 ， 左边的一次项除到右边；二是要能够看出除完后的三个方程相加可以配成三个完全平方之和为零的形式 。 这步变形也是解题的枢纽 。
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解法2：
同解法1 ， 先讨论x=y=z=0的情况 。 下面来讨论xyz≠0的情况 。
我们先拿一个方程进行分析 ， 好比第一个方程 。
由于1+x2＞0 ， 2x2＞0 ， 所以y为正数 。 同理x、z也为正数 ， 即x、y、z均为正数 。
又由于(x-1)2≥0 ， 所以1+x2≥2x(实际上是基本不等式) ， 代入第一个方程可以得到y≤x ， 同理z≤y、x≤z ， 所以可以得到x=y=z ， 然后随便代入一个方程即可解出x、y、z得值 。
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总结：解法2相对于解法1更不轻易想到：
第一、对x、y、z范围的限定比解法1更细 ， 解法1只要求xyz≠0即可 ， 而解法2则要分析出x、y、z都是正数；
第二、用到了基本不等式 ， 固然很好理解 ， 但是假如没有学习仍是不轻易想到；
第三、用了基本不等式并没有直接解出谜底 ， 仅仅是找到了x、y、z的关系 ， 还需要把他们之间的关系代入原方程组才能求解 。
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这道竞赛题对于初中生来说难度仍是不小 ， 但是解法1实在考查的就是一些基础知识的灵活运用 ， 解法2轻微用到了一点高中基本不等式的相关知识 。 你觉得这题难吗？
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