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大可数学人生工作室|三次数学危机如何破解？在此期间，芝诺还提出来四大悖论，简称芝诺悖论。第二次数学到第三次数学危机相隔也就200余年。


北京联盟_本文原题：三次数学危机如何破解？
数学 ， 这个我们从小就学的学科 。 在90后的小学印象中 ， 语文和数学是并重的学科 。 前者是生活必备的语言 ， 后者是逻辑基础的工具 。
我们或许并不知道数的概念从什么时候开始的 。 我们甚至不知道数学起源于文明的崛起还是人类意识中感性经验自带的逻辑基础 。
结绳计数是考证最早人类有关数学工具的应用 。 这是一种多么简洁明了的数学表达形式 。
人类从一开始总是对自然世界抱有古朴的观念 。 比如神造人 ， 天圆地方 ， 物质可无限细分 。 这些古朴的思想体现在数学上就是朴素整数观 。
古人更愿意相信整数可以代表自然界所有的事物 。 直到毕达哥拉斯学派发现直角三角形的勾股定理后 ， 人类对数字的认识才第一次有颠覆性的变革 。
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对于一个直边长为1的等腰直角三角形 ， 它的斜边长就是根2 ， 可是人们在计算根2的具体数值时却狂躁了 ， 发现这个数居然可以很长很长 ， 不管你计算多久 ， 它好像都没完没了了 ， 这就是人类发现的第一个无理数 。
在毕达哥拉斯之前的古希腊哲学中 ， 整数代表了自然的和谐整洁之美 。 根2的出现无疑让自然的洁简之美破碎了 。
古人开始研究起了无理数 ， 不再局限于整数的桎梏 。 对无理数的研究也让人类第一次思考无穷的概念 。比如一条线段无限分 ， 总有一段是无理数式的长度 。
在此期间 ， 芝诺还提出来四大悖论 ， 简称芝诺悖论 。其中以芝诺的乌龟尤为著名 。 你不可能追上一只乌龟 ， 即便你是博尔特也不行 。 因为你在追乌龟的时候总是要先追上乌龟行进路程的一半 ， 当你追上这一半时 ， 乌龟又前进了一部分 ， 你又得追上新路程的一半 ， 至此你将陷入到乌龟路程一半的漩涡中无法逃脱 。
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可是这样的结果却与事实大相径庭 。 正是由于这样的悖论存在 ， 人类才不得不思考无穷的概念和意义 。
现在我们一眼就看出芝诺悖论的弊端 。 对线段的无穷二分势必需要无穷的时间 ， 而运动员的时间是有限的 ， 我们不能在有限的时间内做出无限多的事情 ， 那么在追击乌龟时 ， 就不会陷入到乌龟路程的一半的逻辑漏洞中 。
对无理数和无穷概念的研究和拓展成功的化解了第一次数学危机 ， 人类开始探究新的数学领域 。
就这样整个数学基厦安稳的度过了2000余年 ， 直到牛顿 。 我们知道微积分是牛顿和莱布尼茨奠基起来的 。 有了微积分后 ， 那时的人们可以解决许多前所未有的问题 ， 比如精确测量边界曲折的土地面积 ， 也可以出测量一条曲线的长度 。
微积分的基础思想就是无限细分再整合 。 微积分中总是出现无限逼近的概念 。 比如无限小和0的区别 ， 当时的人们在某种情况下直接将无限小当做0来使用 ， 但却不知其中蕴涵的数学意义 。
牛顿时代的人们还不能彻底搞清楚微分、积分、导数的内在意义 。
比如我们计算一条曲线的某点切线斜率 ， 我们可以在这点附近取个边长都无限小的直角三角形等效替代 ， 取而代之的是这个直角三角形的斜边斜率 。
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而当时的人们总是心里有道杠 ， 人们认为即便直角的边长再怎么小 ， 它们的比值也不过是这个直角三角形斜边的斜率 。 怎么能把这条斜边的斜率直接等同于曲线这点的切线斜率呢？理论上曲线某点的切线不是这个直角三角形的斜边 ， 所以不能划等号！
其实牛顿时代的人们搞混了导数和微分的区别 。 曲线a点周围的直角三角形(直角边无限小)斜边的斜率只是无限逼近a点切线的斜率 。 就相当无穷小无限逼近0 ， 我们要的不是不穷小 ， 我们要的是0 。 同样地 ， 我们要的不是这个直角三角形斜边无限逼近某数值的斜率 ， 我们要的是a点切线的斜率 。 而我们明知道直角三角形的斜边上限或下限无限逼近数值b ， 而直角三角形的斜边也同样上限或下限无限逼近曲线a点切线的斜率 。 那么我们就可以认定：曲线a点的切线斜率就是直角三角形斜边无限逼近的那个数值 ， 也就是b 。


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