拓扑到底是什么( 二 ) _拓扑

我们可以提供一个描述甜甜圈的拓扑空间，然后想象我们的甜甜圈是由橡皮泥制成的，然后在不破坏规则的情况下，将其拉伸到咖啡杯的形状。所以，是的，在拓扑结构上，咖啡杯和甜甜圈是同一件事。

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图3：看起来不特别美味的甜甜圈
为什么球体不是甜甜圈？
现在，我们知道了如何判断两个对象在拓扑中的一致性，现在我们来看一下如何判断其在拓扑中的差异性。拓扑空间具有许多可以区分它们的不同属性。对于三维对象，例如球体和甜甜圈，我们可以用来区分二者的主要是它们具有的孔数。如果一个对象比另一个对象具有更多的孔，则二者在拓扑上是不同的。这是因为它们违反了我们先前建立的拉伸橡皮泥的规则。要造出一个孔，我们要么在橡皮泥上撕出一个洞，要么将橡皮泥拉伸成一个甜甜圈形状，然后将两端合并在一起。

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图4：我们可以将橡皮泥球塑造成甜甜圈形状，但是在不违反规则的情况下，边线不能融合在一起。当我们将其弯曲成甜甜圈时，通心粉形状的两个圆形面仍然存在。
在拓扑上区分三维对象的另一种常用方法是，想象在三维对象上面行走。例如，在球体上行走。假设你从某个点开始，一直绕着球体上的一个大圆圈行走，当你再次到达同一点后，可以沿任一方向旋转90度，然后绕着另一个大圆圈走。在绕球的第二圈中，你将穿越第一条路径。无论你在球面上的哪一点上执行此操作，都会发生这种情况。

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图5：具有两条相交路径的球体
在与球体拓扑等价的任何三维对象上也会发生这种现象。但是，在某些拓扑上与球体不等价的对象上，有方法可以做到这一点而不穿越第一条路径，你可以在甜甜圈上看到这个现象。

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图6：如果我们从蓝色和绿色路径相交的地方开始，然后沿着绿色路径行走，这条路径跟我们已经走过的地方不相交。
对于拓扑等价的对象，他们的许多拓扑性质都是相同的；对于拓扑不等价的对象，这些拓扑性质则不一定相同。这些拓扑性质，就是用于确定两个对象拓扑等价与否的重要工具。
其他的拓扑对象
到目前为止，我们仅讨论了可以在3维中可视化的拓扑空间，但拓扑的一个优势是，它允许我们使用同样的方法轻松地描述4、5或更高维中存在的对象。
此类拓扑结构中经常出场的是克莱因瓶：

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图7：三维空间中克莱因瓶的表示 | youtube：Numberphile
严格来说，我们实际上无法在三维空间中观察到真正的克莱因瓶，但是通过允许其自身交叉，我们可以对它的性质有所了解。在四维空间中，该对象实际上并不与自身交叉。很难想象的是，它会在第四维度弯曲以重新连接到自身。克莱因瓶看起来像有内外两侧，但是你可以从一个特定点沿一条连续的路径走，你将经过克莱因瓶的“外部”和“内部”，最后回到原始点，这说明克莱因瓶的3D表示在拓扑上是同一个面。因此，克莱因瓶没有容积。
但是，关于克莱因瓶上的路径的一个有趣的事情是，如果沿着上述路径行走，当你返回到原始位置时，你实际上将成为自己的镜像。这是与克莱因瓶在拓扑上等效（或同胚）的对象的拓扑属性。显然，克莱因瓶对球体或甜甜圈不是同胚的，因为无论我们在球体或甜甜圈上行走的方式如何，当我们回到起点时，我们都不会成为自己的镜像。如果对象具有成为自己镜像的这种属性，则将它们称为不可定向的。克莱因瓶不可定向，球形和甜甜圈可定向。另一个著名的不可定向表面是莫比乌斯带，这个很容易用纸条制作，网上也有很多教程。

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当螃蟹在莫比乌斯带上行走并返回其原始位置时，它就是其自身的镜像。资料来源：Wikimedia Commons
尽管莫比乌斯带不可定向，但它在拓扑结构上不等同于克莱因瓶，而且其结构是一个整体。虽然可以通过将两个莫比乌斯条的边缘粘合在一起来构造克莱因瓶，但实际上在三维空间中这样做是不可能的（你可以尝试）。