拓扑到底是什么( 三 ) _拓扑

用一张纸构造一个甜甜圈
研究在三维空间中难以可视化的对象（例如克莱因瓶）的拓扑的一种更实用的方法是考虑其粘合图，粘合图通过拉伸和粘合2D形状的边缘的方式，来指导我们如何构造具有特定拓扑的对象。
在考虑复杂形状的粘合图之前，首先考虑一个更简单形状的粘合图，甜甜圈：
图7：甜甜圈的粘贴图
我们假设图中的正方形是用橡皮泥制成的，然后想象一下拉伸正方形让对侧的边缘附着在一起或粘贴起来。当我们将这些边缘粘合在一起时，我们需要箭头指向同一方向。因此，我们将上图扩展如下：

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图8：如何从其粘合图构造甜甜圈
下一个图类似于图 7，除了两个红色箭头现在处于相反的方向。这意味着我们需要扭曲对象，以便在将边缘胶合在一起之前，箭头指向同一方向：
图9 ：更复杂的粘合图
上图粘合图中的第一步是拉伸正方形，使两条蓝线相交，然后我们构造一个圆柱体，就像构建甜甜圈的第一步一样。甜甜圈粘合的红色箭头指向相同的方向，而现在，这两个红色箭头则指向相反的方向。这意味着我们必须以某种方式扭转圆柱体的一端，以使箭头在将它们胶合在一起之前指向相同的方向。你可能会想到，这在物理上是不可能的。因此，由该粘合图产生的表面在物理上也是不可能的。但是实际上，这是我们已经见过的物理上不可能的表面，克莱因瓶！

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Source:Fouriest Serieson tumblr
粘合图是查看对象是否可定向的简单方法。我们可以想象在粘合图上行走与在“吃豆人”中的原理类似，当吃豆人到达世界的一侧时，它可以从另一侧出来。如果我们想象吃豆人在粘合图上移动，当它进入一侧时，它将从同一颜色的另一侧冒出来，而箭头确定了它前进的方向。
假设吃豆人进入圆环粘合图的右侧，那么它将从左侧出现。这就是正常“吃豆人”世界的拓扑工作方式。

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图10：吃豆人在圆环上行走
现在假设吃豆人进入了克莱因瓶粘合图的右侧，然后，吃豆人将在左侧出现，但上下颠倒了：

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图11：吃豆人在克莱恩瓶上行走
由以上分析可知: 粘合图能使我们轻松考虑对象的某些拓扑属性，如果没有粘合图，这些属性将难以理解和利用。
拓扑为什么有用？
实际上，拓扑在统计领域中非常有用。统计学中一个新兴的研究领域是拓扑数据分析。有用的数据通常具有某种结构，这些结构具有某种规律或趋势，而数据分析本质上是揭示此结构的过程。在数据中寻找结构通常取决于我们如何看待数据，即：使用什么统计检验，将哪些变量与其他变量进行比较以及使用哪些可视化表示。
从拓扑结构中，我们知道看起来完全不同的事物实际上可以具有相同的结构。这个想法也可以应用于数据，因为即使在处理相同的数据，若看待数据的角度不同，它们看起来也可能完全不同。
在拓扑数据分析中，数据的结构将会进行拓扑处理。我们知道，拓扑属性是在不改变其拓扑性质的变换过程中保持不变的属性。因此，在对数据进行拓扑数据分析时，我们主要寻找在经过各种处理方式之后保持不变的属性，这个过程可以类比于像拉伸橡皮泥一样拉伸数据。通过这种方式，我们可以确定数据的真实结构，并且不再依赖数据的观察方式。
这只是所谓的“现实世界”中许多拓扑应用之一。其他拓扑应用程序还涉及看起来不同的事物实际上是否是相同的问题，这个问题在处理经由不同的人、不同方式表述的同样的信息中非常重要。具有不同的表示方式的几种情况有：分子结构、地理图、DNA结构和绳结等等。
虽然最初可能很难看清，但是拓扑是大多数数学领域的基础。确切定义拓扑的“使用方式”非常困难，因为它的存在在数学的工作方式中根深蒂固，以至于我们甚至都没有注意到我们正在使用它。直到最近，拓扑学才成为独立于其他数学领域的学科，不断涌现出新的研究成果和应用。
作者：Luke Cooper
翻译：Nuor
审校：xux
原文链接：
‍https://medium.com/cantors-paradise/what-is-topology-963ef4cc6365