那么，核心的问题是，为什么电场能乖乖的沿着电线走？
这涉及一个重要的物理量：坡印廷矢量 。
06
坡印廷矢量
根据能量守恒定律，能量不能被创造，也不能被消灭 。既然如此，当我们考虑某个空间范围内、单位时间内所有的能量转换和流动以及增减时，这些量之间应该构成一个等式，比如：
转化来的-转化走的-流走的=增加的
这种公式化的语言，不仅指出能量应该守恒，而且表明它是如何守恒的 。
类似的，电流的连续性方程就是电荷守恒定律的这种公式化表示 。设单位时间内，某闭合曲面 内的电荷减少了，那么这个减少值必然等于电流密度对这个曲面的通量，即 根据稳恒电流的性质，上式右边为零 。那么意味着，凡是稳恒电流，它的电流密度矢量的场对应闭合曲线，因为只有一个闭合曲线才能确保对任意闭合曲面不产生通量，这一点与磁感应线一样 。
好，下面就按照这个思路来探讨一下电磁场的能量的流动 。
现在有一直流电路，在这个电流所在的空间中任意取一个闭合曲面 。单位时间内，这个闭合曲面内的电场能量收支和结余之间应该也满足一种关系 。下面将这个关系用数学公式表示出来 。
文章插图
按前面所讲，电路中的电流有两种转换方式，一是电源非静电力做功，我们用 表示非静电力的输出功率；二是电路的消耗，我们仅考虑纯电阻电路，这部分只有焦耳热，我们用 表示单位时间内产生的焦耳热 。
除此之外，电场能量还会以光速流动，设用矢量 表示这种能量的流动，并称之为能流密度矢量 。它的意思是指，与能量流动速度垂直的单位面积上，单位时间内所流过的能量值 。
作为一个类比，电流密度矢量 是一个类似的量 。它其实也可以叫做“荷流”，因为它表示单位时间，流过垂直于电流方向的单位面积内的电荷量 。其实，任何物理的矢量都可以看做某个流体的"X流"，它的通量就是流体的流量 。
而单位时间内，该曲面内的电磁场能量 的增加值就是能量随时间的导数，因此上述文字关系可以写为 现在，只要确定 的表达式，然后看它是否真的沿着导线走，就能确认电场能量沿着导线传输这一事实了 。
注意，这里不准备讲如何从这个等式中推出能流密度矢量 的形式，因为那个过程真的有点复杂，真没必要在这里涉及过多 。但上面这个式子本身的物理意义其实是非常清楚的 。不光如此，这式子里面的其他东西都可以从其他的角度较容易的获得，那么我们就可以据此得到 的表达式了 。
对于闭合电路，既有电场也有磁场，电磁场的能量密度是 设闭合曲面内包含的体积为 ，则其能量的增加率为 非静电力的做功功率，就是被曲面圈进的部分电源的电动势乘以电流，即 根据欧姆定律，单位时间内，圈进曲面的电阻在单位时间内产生的焦耳热为 据此，经过艰难的推导(此处省略狂虐吾之万字)，可得能流密度 的表达式为 这就是电磁场的能流密度矢量，也叫坡印廷矢量 。
那么，为什么电磁场的能量传输速度是光速呢？
这一点也可从坡印廷矢量得到解释 。在解释之前，我们先来看一下电流密度矢量 。前面说过，它其实就是所谓“荷流”——表示电荷流动的矢量 。我们看它的表达式 这里的 是载流子的浓度，那么 一起就是载流子的电荷密度，用 表示，则电流密度矢量可以表示为 这个表达式清晰的给出了 的物理意义：单位体积内的电荷移动所形成的一个物理量 。如果参照这种结构，能流密度矢量应该可以写成 并且 的大小应该就是光速 。而实际情况的确如此，按照麦克斯韦方程组，可以证明
其中 就是光速 。因此，电磁场的能流的速度是光速 。
下面以稳恒电流电路为例，看电磁场的能量是如何流动的 。
07
直流电路中的能流
根据前面所讲，之所以电场能量不再是朝四面八方辐射，而是沿着电路的导线传输，背后起作用的是电磁场的边值关系 。它给出了一种限制条件，要满足这个条件，电磁场只好沿着导线的方向传播 。
可见，这个边值关系挺神奇的 。但本文不准备推导这个边值关系，只是直接给出，有兴趣的，可以参阅有关资料 。
边值关系是指，在介质的分界面两侧，电场和磁场的切向和法向分量必须满足一定的要求 。具体说就是，电场强度 和磁场强度 的切向分量分别相等；而电位移矢量 和磁感应强度 的法向分量分别相等 。
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