闭区间套定理证明确界存在定理?如何利用闭区间套定理来证明单调有界定理?( 二 )
再记c1=(a1+b1)/2，若f(c1)＝0，结论成立；
若f(c1)>0，则记[a2,b2]=[a1,c1]；若f(c1)<0，则记[a2,b2]=[c1,b1] 。
继续下去，或者到某一步有f(ck)=f[(ak+bk)/2]=0，此时结论成立 。
或者此过程可无限做下去，因此得到一区间套序列{[an,bn]}，满足：
(1)，[a1,b1]包含[a2,b2]包含[a3,b3]包含...，
(2)，bn－an=(b－a)/2^n趋于0，当n趋于无穷；
(3)，f(an)<0<f(bn)，n＝1，2，3，... 。
由闭区间套定理，存在c位于所有的区间，即an<=c<=bn，对n都成立，
且an和bn都趋于c 。由f(x)在c的连续性有
f(c)＝lim f(an)<=0，
f(c)＝lim f(bn)>=0，
因此f(c)＝0 。显然由于f(a)<0<f(b)知道c不是a，b 。因此a<c<b 。
证毕 。
Q5：“闭区间套定理”的内容是什么？
闭区间套定理或者更高维的闭球套定理常常用来证明或者说明某个空间（集合）具有一种“稠密”的性质 。在这个空间中构造出一列（无穷多个）闭球，使这些闭球一个比一个更小而且后一个总被套在前一个里面，目的是使得这列闭球的直径最终趋于零，即无限小，这时候，“最里面”的闭球要么是一个点要么是空集，如果最里面的闭球是一个点，那么这个点必定包含于所有的这一列闭球，我们就说这个空间具有这种“稠密”的性质；反之，如果这个空间具有“稠密的”性质，必定可以构造出一列直径越来越小最终为无穷小的闭球套，它们有唯一的公共点！
Q6：叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界
闭区间套定理：
设闭区间{[an，bn]}满足：[an，bn]?[an+1，bn+1]（n∈N+），
lim
n→∞
(bn?an)＝0，
则存在唯一的ξ，使ξ∈[an，bn]（n∈N+）且
lim
n→∞
an＝
lim
n→∞
bn＝ξ．
设f是[a，b]上的连续函数，下面用反证法证明f在[a，b]有界．
反设f在[a，b]无界，二等分区间[a，b]，
【闭区间套定理证明确界存在定理?如何利用闭区间套定理来证明单调有界定理?】则存在一子区间[a1，b1]，使f在[a1，b1]无界，
再二等分[a1，b1]，则同样可以得到一个子区间[a2，b2]，使f在[a2，b2]上无界，
如此无限下去得到一闭区间套{[an，bn]}，f在任意[an，bn]无界．
显然，bn?an＝
b?a
2n
→0(n→∞)，由闭区间套定理可以推知ξ∈[an，bn]（n∈N+）．
由f在ξ的连续性知：存在δ＞0，使f在[a，b]∩[U（ξ，δ）]有界，
而n充分大时，[an，bn]?U（ξ，δ），
这与f在[an，bn]上无界矛盾．
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Tags：闭区间套定理闭区间套定理证明确界存在定理
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