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「」走进高维空间——所有点之间的距离都相等！奇妙、疯狂、不可思议( 二 )


【「」走进高维空间——所有点之间的距离都相等！奇妙、疯狂、不可思议】这里 ， 每个向量的大小只是每个点到原点的距离 ， 每个向量的方向就是空间中从原点到每个点的位置的方向 。 我们可以简单地用它们对应点的坐标来表示这些向量 。 现在我们把这些点看成是向量 ， 我们可以把这些向量加起来 。 你可能会想 ， 既然我们的目标是测量两点之间的距离 ， 我们为什么要关心向量相加呢？要把两个向量相加 ， 我们只需要取其中一个向量并把它固定在另一个向量的末端 。 向量加法很酷的一点是 ， 无论我们是先用蓝色向量加上红色向量 ， 还是先用红色向量加上蓝色向量 ， 结果都是一样的！看看下面的图 ， 很明显 ， 当我们把两个向量相加 ， 我们得到了第三个向量 ， 我用紫色的向量表示：
如果我们想知道紫色点和紫色向量的坐标呢？它就像把与红色和蓝色向量相关的单个坐标相加一样简单！我们设蓝色的向量为x ， 红色的向量为y ， 紫色的向量为z ， 与每个原始向量相关的坐标为(x1 ， x2)和(y1 ， y2)如果z=x+y ， 则z的个体坐标为：
现在我们理解了向量加法 ， 那么减法呢？这个过程非常类似 ， 但是我们不是把第二个向量粘在第一个向量的末端 ， 而是把第二个向量的反向量粘在第一个向量的末端 ， 这里反向量指的是一个大小相同但在空间中指向相反方向的向量 。 从技术上讲 ， 向量“减法”就是向量的加法 ， 相当于加上负1乘以一个向量 。 例如 ， 这是原始的红色向量 ， 以及我们用-1乘以它得到的结果：
注意 ， 如果原始的红色向量是由坐标(y1y2)定义的 ， 新的向量是由坐标(-y1 ， -y2)定义的 。 所以 ， 如果我们要从蓝色向量中减去红色向量 ， 我们要把这个新的向量粘在蓝色向量的末端 ， 这就得到了一个新的紫色向量：
如果我们想要计算这个新的紫色向量末端的点的坐标 ， 我们只要把蓝色向量(x1x2)的单独坐标加上新的红色向量(-y1 ， -y2)的坐标 。 这等价于从蓝色向量(x1x2)中减去原红色向量(y1y2)的坐标 。 即z=x-y ， z的坐标为：
新的紫色z向量的大小等于与蓝色向量x和红色向量y两点之间的距离！为了更清楚地说明这一点 ， 让我们把两个原始向量和我们通过减去这些向量得到的向量画在同一个图上：
在上边的图中 ， 有原始的红色和蓝色向量 ， 紫色向量是从蓝色向量减去红色向量得到的 。 在下边的图中 ， 我们移动了紫色的向量来表示它的大小 ， 正好等于与红色和蓝色向量两个点之间的距离 ， 是不是很酷！让我们回顾一下 ， 如果我们想计算空间中两点之间的距离 ， 我们所需要做的就是将这些点表示为向量 ， 从另一个向量中减去其中一个向量 ， 然后计算大小（即距离） 。 如果我们定义z为y-x而不是x-y ， 我们最终会得到一个大小相同但指向相反方向的向量 。 因此 ， 由于我们只需要得到的向量的大小来计算两点之间的距离 ， 所以从哪个向量“减去”哪个向量并不重要 。
现在我们知道这个“差”向量的大小等于两个原始点之间的距离 ， 我们如何计算它的大小呢？还记得在第一部分中 ， 用勾股定理来计算从原点到空间中任意一点的距离吗？从原点开始的矢量的大小等于原点到空间中相应点的距离！现在我们有了计算二维空间中任意两点之间距离所需的所有东西 。
然而 ， 对我来说 ， 关于这个计算方法最妙的事情就是它在任意高维情况下也完全适用 。 具体地说 ， 假设我们在n维空间中有两个向量 ， 它们的坐标定义如下：
同理 ， 如果z=x-y ， 则z的坐标为：
一旦我们得到了z ， 我们就可以用勾股定理来计算它的大小 ， 这就得到了两点x和y之间的距离！让我们思考一下高维的向量的概念 。 上面的图很好地展示了二维空间中的向量 ， 我们可以想象线段从原点出发 ， 射向三维空间中的点 ， 但高维空间呢？正如我们现在所知道的 ， 我们不能显式地将这些空间可视化 ， 但是我们可以显式地定义存在于某个n维空间中的点的位置 ， 从而也可以定义它们的相关向量的方向和大小 。 无论我们是在二维空间还是在100维空间中 ， 一个点就是一个点 ， 一个向量就是一个向量 。 有了这些定义 ， 我们现在可以测量任意高维空间中点和点之间的距离!


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