「」走进高维空间——所有点之间的距离都相等！奇妙、疯狂、不可思议( 三 )
我们计算的对象是 ， 在半径为1的n维球内 ， 随机选择的两个点 ， 计算它们之间的距离 。 为此 ， 我们将在给定维度的球内随机生成成对的点 ， 并使用上面的原理计算每对点之间的距离 。 让我们从我们可以想象的维度开始 ， 2维和3维 ， 然后看看当维度n增加时会发生什么 。
首先看一下二维空间中 ， 下面是10000对点之间距离的直方图：
这看起来很合理 ， 我们看到一些点距离接近于零 ， 有些则相距甚远 ， 即距离接近于2 ， 以及所有介于0和2之间的值 ， 中间距离似乎也是最常见的（符合正太分布） 。
以下是在三维球体内随机采样的“点对”之间的距离分布：
这似乎也比较正常 。 但是 ， 我们看看十维 ， 会发生什么：
在这个10维的世界里 ， 没有距离特别近的点对 。 100维呢？（下图）
难以置信！现在情况真的开始变得不一样了 。 再次观察2维球体和3维球体内的点之间的距离分布 ， 它们覆盖了从0到2的整个范围 。 在100维中 ， 看起来绝大多数点对的间隔在1.10到1.70个单位之间 。
再看看1000维：
哇！这一趋势仍在继续！所有点对之间的距离高度集中在平均距离（1.42）附近 。 让我们花一点时间来思考一下这个问题 。 在越来越高的维度中 ， 似乎所有的点对之间的距离都近似相等 。 也就是说 ， 如果我们从1000维球中随机选择一对点 ， 它们之间的距离大约是1.42 。
为了以稍微不同的方式演示这个现象 ， 让我们从1000维球中随机选择10个点 ， 并计算每个点与其他9个点之间的距离 。 这样 ， 我们就不会把自己限制在单对点上 ， 而是限制在10个点之间的所有成对距离上 。 这实际上与观察许多随机的点对是完全相同的 ， 但是感觉有点不同 ， 因此可能值得探索 。 让我们看看会得到什么!
从1000个球内随机选择的10个点之间的两两距离这正是我们所期望的 。 每一个点到另一个点的距离大致相同 。 在更高维度的世界里 ， 这是一个多么疯狂的世界啊！
您可能还记得我们在本系列的第一部分中看到的类似现象 。 在那里 ， 我们看到在更高的维度中 ， 所有的点离原点的距离大致相等 ， 高度集中在球的外边界 。 在这些高维球中 ， 到原点的距离分布呈现出与上面所示的点对之间的距离分布类似的形状 ， 一个尖锐的、集中的、几乎没有变化的峰值 。 因此 ， 在n维球内部 ， 随机采样的点集中在球的外边界 ， 这些点与所有其他点的距离相等 。 太难以置信了！
也许你想知道这个奇怪的现象 ， 即点之间的距离相同 ， 是否只是n维球的一些奇怪的特性 。 这适用于其他形状所限制的空间吗？确实如此！还记得第二部分中那个疯狂的超立方体吗？在这个超立方体中 ， 大部分的体积似乎都高度集中在角落里 。 这到底是什么意思？为什么点会高度集中在空间的某个特定区域（比如n维球的边界或n个立方体的角） ， 但它们之间的距离却相等？老实说 ， 我不知道 ， 它让我觉得奇怪！
今天我们看到 ， 高维空间中的点彼此之间的距离大致相同 。 这在低维度中显然不是这样 。 我们知道 ， 在较低维度空间中随机选择的点 ， 可能离得很近 ， 也可能离得很远 。 又一次 ， 正如我们所希望的 ， 当我们冒险进入更高的维度时 ， 事情变得非常奇怪！
本系列的下一部分将会把这些非凡的现象和概率论联系起来 ， 它们一定会扭曲和扩展你的思维！
走进高维空间系列第一部分：走进高维空间——体验难以置信的感觉
走进高维空间系列第二部分：高维空间中最不可思议的发现——球内的立方体 ， 没有人可以理解
老胡说科学
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