今日必看|你可能不知道隐藏在杨辉三角形中的 10 个秘密！
文章来源于遇见数学， 作者遇见数学翻译小组
翻译: 姚高华 校对: 李千蔚
英文: https://sourl.cn/qZZiVA
杨辉三角形 ， 又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形 ， 它的排列形如三角形 。 由于首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名 ， 而书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算书》 ， 故又名贾宪三角形 。 古代波斯数学家欧玛尔·海亚姆也描述过这个三角形 。 在欧洲 ， 由于法国数学家布莱兹帕斯卡在1653年的《论算术三角》中首次完整论述了这个三角形 ， 故也被称作帕斯卡三角(Pascal"s triangle) 。
杨辉三角的前 10 行写出来如下：
本文插图
杨辉三角的构建
在最上面一行的中心写下数字 1第二行 ， 写下两个 1 ， 和上一行形成三角形随后的每一行 ， 开头和最后的数字都是 1 ， 其他的每个数都是它左上方和右上方的数之和 ， 就是说除每行最左侧与最右侧的数字以外 ， 每个数字即是它的左上方与右上方两个数字之和 。
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每个数是它左上方和右上方的数的和
杨辉三角的美妙之处在于：它是如斯足够简朴 ， 但本身在数学上却拥有丰硕的魅力 。 这是数学中的最令人称奇的事物之一 ， 随便取诸多数学性质中的某个 ， 就能表明它是多么的精彩绝伦 。
【今日必看|你可能不知道隐藏在杨辉三角形中的 10 个秘密！】现在让我们一起来探索藏在杨辉三角里的 10 个你可能不知道的秘密吧！
秘密#1：隐藏数列
提示：为了有助于找到隐藏的信息 ， 先将杨辉三角按左对齐方式排列 。
本文插图
左对齐后的杨辉三角
前两列倒没什么特别的地方 ， 第一列均为 1 ， 第二列则为自然数 。 而第三列就是三角形数(Triangular number) 。 你可以想到 ， 三角数就是能够组成大大小小等边三角形的点的数量 ， 如下图所示 。
本文插图
三角形数(图自维基)
类似地 ， 第四列是四面体数(Tetrahedral number) ， 也叫三角锥体数 。 顾名思义 ， 它们代表由三角形构成的四面体所需要的点的数量 ， 四面体数每层为三角形数 。
本文插图
五层高的锥体共包含 35 个球体
往后每一列都延续这一规律 ， 这一规律描述了由三角形数/四面体数到高维度“单纯形”的拓展 。 下一列是 5-单纯形数 ， 接着是 6-单纯形数 ， 以此类推 。
在几何上 ， 单纯形是某一维度空间中构造最简朴的结构 ， 0-单纯形就是点 ， 1-单纯形就是一条线段 ， 2-单纯形就是三角形 ， 3-单纯形就是四面体 ， 4-单纯形就是五胞体 。
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图自维基
秘密#2: 2 的幂
假如你把每一行相加会得到 2 为底的幂 ， 始于 2=1
可以看到每一行的和都是以 2 为底的幂
秘密#3：11 的幂
本文插图
杨辉三角还揭示了 11 为底的幂的值 。 你要做的就是将每一行的数字挤压到一起 。 前 5 行足够简朴 ， 但泛起两位数的时候该怎么办呢？
事实证明 ， 你要做的就是将十位数加到它左侧数字上 ， 好比下图所示的是第六行中泛起了上面的情况 ， 如何进行移动以获得 11 的值
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