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乔治葫芦娃|18世纪数学的发展，代数、几何、分析三大分支开始形成


自17世纪 ， 创立微积分学以来 ， 便大量应用于理论物理、力学和天文学等领域 ， 并因此刺激和推动了微分方程、无限级数论、微分几何、变分学和复变函数论等新分支的产生 。 这些新学科与微积分本身的发展成为18世纪数学最重要的内容 ， 使分析学形成了在内容和方法上都具有鲜明特点的、独立的数学领域 ， 与代数、几何并列为数学三大分支 。
乔治葫芦娃|18世纪数学的发展，代数、几何、分析三大分支开始形成
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微积分
18世纪 ， 数学本身的发展、数学研究流动的扩张、数学教育的改革 ， 都为19世纪数学的发展预备了前提 。 微积分学的深入发展 ， 在英国和欧洲大陆走着不同的路线 。 18世纪早期 ， 英国牛顿学派的代表人物有泰勒、马克劳林、棣莫弗和斯特林等 。
泰勒发现的闻名定理是把函数展成无限级数的最有力的方法；为反驳主教贝克莱对牛顿流数法的攻击 ， 马克劳林发表了闻名的《流数通论》 ， 对牛顿的流数方法做出逻辑的系统的阐述 。 泰勒、马克劳林之后 ， 英国数学长期停滞不前 。 因为17世纪末开始的关于微积分优先权的争论 ， 助长了英国数学家们狭隘的民族偏见 ， 固守牛顿的流数法 ， 住手了与欧洲大陆的数学交流 。
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而海峡对岸 ， 分析学在莱布尼茨的继承者们的推动下得到蓬勃发展 。 伯努利家族的数学家们首先继续并推广莱布尼茨的学说 。
瑞士数学家雅各布·伯努利引用莱布尼茨的符号 ， 并称之为积分 ， 莱布尼茨采用他的建议 ， 并列使用“微分学“和“积分学”两个术语 。 雅各布·伯努利还利用莱布尼茨的计算方法 ， 定义了平面曲线的曲率半径 ， 研究了对数螺线、悬链线 ， 发现了双纽线等 。 雅各布·伯努利的弟弟约翰·伯努利在莱布尼茨的协助之下发展和完善了微积分学 。 他借助于常量和变量 ， 用解析表达式来定义函数 。 在求frac{0}{0}型不定式的值时 ， 发现了洛必达法则 。 约翰·伯努利还完善和发展了积分计算法 ， 解决了有理分式的积分题目 。 约翰·伯努利的学生、法国数学家洛必达根据约翰的讲义 ， 编写了《无穷小分析》 ， 这是第一本系统论述微分学的教科书 ， 促进了微分学的传播 。 在伯努利家族的影响下 ， 欧拉成长为18世纪数学发展的中央人物 。 欧拉把伯努利家族继续下来的莱布尼茨的分析学加以系统收拾整顿 ， 于1848年出版了《无限分析引论》 。 这部巨著与他随后发表的《微分学原理》和《积分学原理》 ， 标志着微积分历史上的一个转折：以往数学家们以曲线作为微积分主要研究对象 ， 而欧拉首次把函数作为微积分的研究中央 。 自此之后 ， 微积分被看作是关于函数的理论 。 欧拉等人大大丰硕了函数概念 ， 明确区分代数函数与超越函数、隐函数与显函数、单值函数与多值函数等 。 通过对一些难题积分题目的求解 ， 建立了一系列新的超越函数 ， 如伽马函数、贝塔函数、椭圆不定积分等 。 进一步系统化对数函数、指数函数和三角函数的研究 ， 并推广到复数领域 。
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在整个18世纪 ， 数学家们获得许多新成果 ， 但对函数、导数、微分、连续性等基本概念还未形成统一认识；对级数与积分的收敛题目 ， 累次积分交换积分顺序题目 ， 微分方程解的存在和惟一性题目等也少有过问 。 对微分基础的严密性更是很少关注 。
除欧拉的函数理论外 ， 法国天才数学巨匠拉格朗日试图使微积分挣脱无穷小量和极限 ， 而采取所谓的“代数的途径” 。 他在1797年出版的《解析函数论》中 ， 提出用函数的泰勒级数来定义它的各阶导数 ， 并以此作为微积分理论的起点 。 法国数学家达朗贝尔也试图对微积分做出严格的论证 ， 首次把极限理论作为微积分的基础 ， 并给出单调递增变量的极限的严格定义 。 欧拉、拉格朗日和达朗贝尔的工作为19世纪微积分的严格表述提供了方向 。 微分方程


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