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乔治葫芦娃|18世纪数学的发展，代数、几何、分析三大分支开始形成( 三 )


乔治葫芦娃|18世纪数学的发展，代数、几何、分析三大分支开始形成
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空间解析几何是在18世纪发展起来的 。 约翰·伯努利引进了现在通用的三个坐标平面；法国数学家帕朗最早使用三个坐标变量的方程表示曲面；克莱罗和赫尔曼建立了空间曲线和二次曲面的方程等 。 欧拉和法国数学家蒙日对空间解析几何也都有过重要工作 。 前者用坐标变换把三个变量的二次方程化为标准型 ， 得到6种曲面；后者阐明二次曲面的截线是二次曲线 ， 并研究了直纹曲面的性质等 。
微分几何
微分几何在很大程度上也是微积分的天然产物 ， 与解析几何同时发展起来 ， 并在18世纪形成独立的学科 。 到17世纪末 ， 得到许多平面曲线的研究结果 ， 18世纪主要是发展空间曲线和曲面的理论 。
空间曲线的理论由克莱罗开创 ， 经欧拉的工作而完善 。 克莱罗于1731年解析地论述了空间曲线的基本题目 ， 他称空间曲线为“双曲率曲线” ， 研究了其切线、法线 ， 并给了弧长表达式；欧拉为了探索扭曲橡皮带的外形题目而开始空间曲线的研究 。 用参数方程来表示空间曲线 ， 引进球面指标线的概念 ， 推导出曲率半径的表达式；法国数学家朗克雷也研究了空间曲线理论 ， 给出了挠率公式；克莱罗、欧拉、朗克雷的工作在19世纪被柯西发展 。 曲面理论是从研究曲面上的测地线开始的 。
欧拉在1760年的论文《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论 ， 对微分几何做出了重要贡献；蒙日自1771年开始发表了一系列论文使微分几何在18世纪发展到高峰 。 他及其学生全面概括了空间曲线的一般理论 ， 并在可展曲面、极小曲面、曲面曲率及各种曲面族等方面获得了系统的结果 。 蒙日还通过微分几何的研究建立了偏分方程的特征理论 。 蒙日的《画法几何学》在18世纪重新唤起对综合几何的爱好 。 他指出画法几何只是投影几何的一个方面 ， 这促进了更一般的投影几何学与几何变换理论的发展 。 代数学
在18世纪 ， 代数与分析很难分开 。 一方面 ， 很多情形下 ， 代数都听从分析；另一方面 ， 大量促进代数发展的因素来自分析 。 数学家对无理数和复数的熟悉有了一定进展 。 欧拉、德国数学家朗伯、法国数学家勒让德等人研究了圆周率的无理性 ， 并区分了代数数和超越数 。 欧拉提出对复数的对数的正确认识 ， 达朗贝尔关于一切虚数都有形式a+bi的断言逐渐被同时代人接受 。
乔治葫芦娃|18世纪数学的发展，代数、几何、分析三大分支开始形成
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方程理论的研究是18世纪代数学的主要内容 。 从18世纪中叶开始 ， 很多数学家如达朗贝尔、拉格朗日、欧拉等都在研究代数基本定理 。 直到1799年 ， 高斯才给出第一个实质性的证实 。 高于四次的代数方程的根式解题目始终困扰着18世纪的数学家；高斯对二项方程的研究及拉格朗日对方程的根的有理函数及其置换的研究 ， 为19世纪代数学的革命性发展开了道路 。
概率论
18世纪 ， 概率论逐渐发展成为一个数学分支 。 其奠基人是雅各布·伯努利、法国数学家棣莫弗和拉普拉斯 。
雅各布·伯努利研究了“掷n个骰子所得点数总和即是m”的题目 ， 开母函数方法的先河 ， 最重要的贡献是建立了概率论中第一个极限定理 ， 即伯努利大数定律 ， 发表在1713年的遗著《猜度术》中；棣莫弗的《机会论》也是早期概率论的重要著作 ， 其中使用了正态分布曲线 ， 推导出n!的渐近公式 ， 即斯特林公式；拉普拉斯系统总结了前人的工作 ， 于1812年出版了《概率的分析理论》 ， 对古典概率做出强有力的综合 。
乔治葫芦娃|18世纪数学的发展，代数、几何、分析三大分支开始形成
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18世纪的数学研究 ， 大部分与欧洲各国的科学院相联系 。 在大学里长期存在着数学教授教养与研究分离、脱节现象 。 到18世纪末 ， 格丁根大学首先夸大教授教养与研究的结合 。 法国大革命期间建立的巴黎综合工科学校和巴黎高等师范学校 ， 则成为新型的科学教育和研究机构的典范 。 社会政治环境对18世纪数学的发展有直接的影响 。 英国学术界的守旧气氛 ， 同拥教保王的政治环境不无关系；而法国大革命则提供了社会提高促进数学发展的典型史例 。 18世纪 ， 法国最优秀的数学家 ， 几乎都被吸收到革命政权的各项改革流动中去 。 而拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、勒让德等人都受聘出任巴黎综合工科学校或巴黎高等师范学校的数学教授 。 蒙日还兼任综合工科学校的校长 。 他们的工作 ， 使这两所学校成为新一代数学家的摇篮 。 所有这些都为19世纪数学的大发展奠定了基础 。


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