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乔治葫芦娃|18世纪数学的发展，代数、几何、分析三大分支开始形成( 二 )


常微分方程的发展始于17世纪 。 三体问题、摆的运动、弹性理论等方面的数学描述引出了一系列常微分方程 。 18世纪的数学家主要致力于寻找常微分方程的通解 。
莱布尼茨给出了齐次方程和线性方程的通解 ， 他还和伯努利兄弟利用某种变换把伯努利方程化为线性方程；约翰·伯努利给出高阶线性方程的降阶法；1728年 ， 欧拉开始对二阶方程进行系统研究 ， 用指数变换求出常系数线性方程的通解 ， 还建立了任意阶常系数齐线性方程的古典解法；丹尼尔·伯努利和意大利数学家黎卡提等人对某些类型的常微分方程进行了深入研究 。 18世纪中叶 ， 因为数学物理中的弦振动题目 ， 开始了偏微分方程的研究 。
【乔治葫芦娃|18世纪数学的发展，代数、几何、分析三大分支开始形成】1746年 ， 达朗贝尔建立了第一个弦振动方程；欧拉又将这种方程推广到二维和三维的情形；因为对万有引力的研究 ， 欧拉在1752年又建立了位势方程；法国数学家拉格朗日和勒让德 ， 深入研究了位势方程解的性质 ， 尤其勒让德引出所谓“勒让德多项式” 。 一阶偏分方程首先泛起在流体力学和几何题目之中 。 到18世纪末期 ， 微分方程已发展成为一门极重要的数学学科 ， 并且成为研究自然科学的有效工具 。
变分法
变分法的发展是与微分方程的发展交融在一起的 。 在17世纪末 ， 约翰·伯努利向数学界提出挑战 ， 征求对“最速降线”题目的解 。 该题目与求普通的函数极值不同 ， 它是寻求一个满意某些前提的极值函数 ， 即泛函的极值 。 牛顿、莱布尼茨、洛必达、伯努利兄弟等分别给出了准确的谜底 。
乔治葫芦娃|18世纪数学的发展，代数、几何、分析三大分支开始形成
本文插图
变分法的奠基者是欧拉 ， 他从1728年开始寻求泛函极值的一般解法 ， 1736年得到泛极值有解的必要条件 ， 陆续求出很多泛函题目的极值 。 法国数学家克莱罗于1733年发表的论文《论极大极小的某些题目》是变分法的第一篇重要论著 ， 而欧拉发表于1744年的论文《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》是变分法发展史上的里程碑 ， 它标志着变分法作为一个新的分支的诞生 。 拉格朗日在18世纪中期开始研究变分法 ， 在1755年的论文中解决了更广一类的题目 ， 也得到了欧拉的必要条件 。 拉格朗日和欧拉通讯讨论有关泛函极值的题目 ， 并把这种新方法称为变分法 。 拉格朗日还首先把变分法置于分析的基础之上 ， 充分利用变分法来建立分析力学体系 。
复变函数
18世纪三四十年代 ， 欧拉利用幂级数具体讨论了初等复变函数的性质 ， 并得到了闻名的欧拉公式 。 达朗贝尔和欧拉分别在1752年和1777年的论文中讨论复函数的导数存在的前提 ， 导出了闻名达朗贝尔-欧拉方程(后来更多地称为柯西-黎曼方程) 。 在这一时期 ， 法国数学家拉普拉斯也研究过复函数的积分 。
第一个试图建立复变函数的系统理论的是拉格朗日 ， 他想利用幂级数来建立解析函数的全部理论 ， 但是没有获得成功 。 尽管如此 ， 他们的工作已为19世纪复变函数的全面发展奠定了基础 。 变分法、复变函数和微积分一起 ， 形成了“分析”的泛博领域 。 在18世纪 ， 分析的热度远远超过代数和几何 ， 数学家们力图用纯分析的手法以挣脱对几何论证的依靠 ， 这种倾向是18世纪数学发展的一个特点 。
解析几何
在18世纪 ， 几何与代数也都获得了一定的发展 ， 解析几何成为一个独立的充满活力的分支 。 固然牛顿和雅各布·伯努利对特殊题目曾用过极坐标 ， 但极坐标的正式、普遍使用开始于瑞士数学家赫尔曼于1729年用极坐标研究一般曲线的工作 ， 并立了从直角坐标到极坐标的变换公式 。 英国数学家斯特林把平面二次曲线的一般方程化为标准型 ， 欧拉建立了平面曲线的参数方程 。


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