新浪科技综合■为了用最小的箱子装最多的汽水，数学家们研究到了 24 维！新浪科技综合2020-08-06 15:56:510阅
文章图片
图1/27来源：中科院物理所
如何在保持办公室、学校和公共场合开放的情况下 ， 同时让人们保持 6 英尺（≈182.88cm）的社交距离 ， 这是数学家们研究了几个世纪的问题 。
球体填充似乎是一个只有数学家们才会喜欢的话题 。 也对 ， 除了他们 ， 还有谁会热衷于找到平面排列圆形或者空间中放置球体的最有效方法呢？
但是现在 ， 全世界有几百万的人都在思考这个特别的问题 。
如何在保持社交距离下重新开放公共空间和场所 ， 这在一定程度上是一道几何问题：如果每个人都与其他人保持 6 英尺的距离 ， 那么一个教室或者餐厅可以坐多少人？本质就是算一个平面内可以填充多少个不重合的圆形的问题 。
文章图片
图2/27这个几何问题不仅仅是当前疫情所面对的问题 ， 在化学中模拟晶体结构和在信息论中抽象的信息空间都涉及到了这个圆形和球体填充的问题 。 这个问题听起来很简单 ， 但是却一直困扰着历史上一些伟大的数学家们 ， 甚至今天 ， 关于这个问题的一些激动人心的研究还在继续 ， 特别是在高维空间上 。 比如说 ， 数学家们最近证明了将球体封装到 8 到 24 维空间的最佳方法 ， 这个方法是优化手机中纠错码或空间探测器通讯的必需技术 。 所以 ， 当我们研究用最简单的形状填充空间时 ， 会出现怎样令人惊讶的复杂情况？
二 维
如果你的任务是将橘子合理地放到盒子里或者在保持社交距离的情况下让学生入座 ， 那么你所要安排的容器的大小和形状就变成了问题的关键 。 但是对于绝大部分的数学家们来说 ， 球体填空理论是填充在整个空间的 。 在二维空间上 ， 这代表利用同样大小的圆 ， 不重叠地覆盖在平面上 。
这里有一个在平面上放置圆形的例子 ， 可能会让你想起一箱汽水罐的俯视图：
文章图片
图3/27可以想象 ， 沿着各个方向按照这个模式不断重复的过程 ， 就像铺设平面的瓷砖 。 圆圈之间的小的间隙代表着平面并不是完全被覆盖 ， 对于圆形的瓷砖 ， 这是可以预想到的结果 。 同时 ， 我们关心平面的覆盖率 ， 也就是平面覆盖的百分比 ， 这里也被称为排列的“堆积密度” 。
以上的排列被称为“方形堆积”（ square packing） ， 原因是：可以将圆的圆心想象为正方形的顶点 。
文章图片
图4/27事实上 ， 这些正方形本身就铺贴为平面 。
文章图片
图5/27铺设的“瓷砖”对称性的性质将会简化这项工作 。 因为这些正方形的瓷砖可以用一种规则的方式覆盖整个平面 ， 所以平面被圆形覆盖的百分比等于任意一个被圆覆盖的正方形的百分比 。 所以 ， 让我们进一步看看这些方块 。
文章图片
图6/27假设每个圆的半径为r ， 这意味着正方形的边长为2r 。 正方形的四个顶点中的每一个都被一个四分之一圆覆盖 ， 因此每个正方形被圆覆盖的比例就是一个整圆的面积与一个正方形的面积之比：
每个正方形大概有 78.54% 的面积被圆覆盖 ， 所以根据我们的平铺理论 ， 整个平面大概有 78.54% 被圆形覆盖 。 这就是方形堆积的堆积密度 。 （这里半径 r 从结果中消失了 ， 这代表无论圆有多大 ， 正方形都将会包含四个四分圆 。 ）
现在 ， 如果你曾尝试将汽水罐的侧面如下图这样放置 ， 看着它们按照这个排列滑进罐与罐的缝隙之间 ， 你会发现另外一种打包的方式 。
文章图片
图7/27利用跟上文类似的方法 ， 将圆的中心想象为正六边形的顶点 。
文章图片
图8/27我们称之为“六方堆积”（ hexagonal packing） ， 这种排列似乎比方形堆积更有效地填补了空白 。 为了验证这一点 ， 让我们比较一下它们的堆积密度 。 就像正方形一样 ， 六边形平铺在平面上 ， 所以我们可以通过分析单个六边形来确定这种排列的堆积密度 。
文章图片
图9/27这个六边形被圆覆盖的比例是多少？因为六边形的内角是 120° ， 所以它的每个角上都有三分之一个圆 ， 因此整个六边形包含两个完整的圆 ， 加上中间的一个一共是三个圆 。 如果每个圆的半径为 r ， 则总面积为 3πr2 。
文章图片
图10/27该怎么跟六边形的面积比较呢？边长为 s 的正六边形实际上是六个边长为 s 的正三角形 ， 每个三角形的面积是， 所以六边形的面积为。 在这里 ， 六边形的边长为 2r ， 因此它的面积为：
推荐阅读
- 古都正|中国千年古都正在崛起“硬科技”
- 小米科技|外媒曝光：小米新奇想专利让超广角拍摄不失真
- 职场女性|巾帼不让须眉：科技界又多了一位女掌门
- 【行走自贸区】线下逛线上购！来曹妃甸综合保税区体验不一样的“海淘”|【行走自贸区】线下逛线上购！来曹妃甸综合保税区体验不一样的“海淘”
- 【行走自贸区】线下逛线上购！来曹妃甸综合保税区体验不一样的“海淘”
- 服贸会|金融科技新成果集中“上新”服贸会，150家金融机构携手亮相
- 省属|赋予科研人员职务科技成果所有权 事关8家省属高校、科研院所
- 【行走自贸区】三亚崖州湾科技城：企业人才纷至沓来|【行走自贸区】三亚崖州湾科技城：企业人才纷至沓来
- 创新服贸|创新服贸 互惠共享 | 智能科技改变生活 服务贸易添新元素
- 创新服贸 互惠共享 | 智能科技改变生活 服务贸易添新元素