新浪科技综合■为了用最小的箱子装最多的汽水，数学家们研究到了 24 维！新浪科技综合2020-08-06 15:56:510阅( 二 )
所以 ， 六边形被圆覆盖的面积百分比为（用三个圆的面积除以六边形的面积）：
每个六边形大概有 90.69% 被圆覆盖 ， 这样看起来比最密堆积空间利用率更高 。 （这里和我们预期的一样 ， 结果中同样不包含圆的半径 。 ）但是事实上 ， 没有哪种排列是更有效的 。
这一点的证明并不是一件容易的事情 。 一些著名的数学家比如约瑟夫·拉格朗日和卡尔·弗里德里希·高斯在18世纪末和19世纪初就开始研究这项工作 ， 但直到20世纪40年代 ， 所有可能的排列——规则的和不规则的——都被严格考虑之后 ， 这个问题才被彻底解决 。 在很容易可视化的二维维度上 ， 这个问题已经耗费了很长时间 ， 这警示了了我们更高维度上问题的复杂程度 。
三 维
【新浪科技综合■为了用最小的箱子装最多的汽水，数学家们研究到了 24 维！新浪科技综合2020-08-06 15:56:510阅】三维球体的填充是一个复杂得多的问题 ， 尽管它与二维在某些方面有些共同的特点 。 例如 ， 我们研究的二维填充是从一个单层构建的 。
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图11/27在方形堆积中 ， 我们把每一层都直接放在前一层的上面 。
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图12/27在六方堆积中 ， 我们将每个新层嵌套在前一层的间隙中 。
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图13/27我们对每层的堆积方式决定了三维中不同的填充方式 。
在三维空间中 ， 不同的填充来自于这样的填充层 。
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图14/27这一层是六方堆积填充的 ， 就像是平面上最优的堆积方式 。 同样 ， 将第二层以类似的方式堆叠上去 ， 嵌套在球体之间的间隙中 。
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图15/27三维中的几何要稍微复杂一些 。 每层球体之间的距离小于相邻球体的距离 ， 因此这些缝隙中不能填充球体 ， 否则会重叠 。 这意味着两层之间的缝隙会排成一行 ， 形成一个小的缝隙通道 。
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图16/27放置第三层时 ， 有两个选项 。 一是填充间隙 ， 保持通道顺通 。 这是侧面图：
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图17/27为保持通道顺通 ， 第三层的球体放在第一层的正上方 ， 如上图所示 。 这种排列被称为“六方最密堆积（hexagonal close-packed ， HCP）”， 当你从上往下看时 ， 会看到一条通道 。
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图18/27第三层的另一种排列方式是封堵这个通道 。 将第三层放到第一层间隙的正上方 ，
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图19/27这个被称为“面心立方堆积（face-centered cubic ， FCC）” 往下看 ， 你看不透这个排列 。
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图20/27这两种相似但截然不同的排列方式在化学上经常出现 ， 它们用以描述不同材料中原子的排列方式 。 （比如说 ， 银和金等金属具有面心立方堆积结构 ， 而锌和钛等金属具有六方最密堆积结构） 。 通过选用任一填充模式 ， 都可以利用球体填充空间 。 在六方最密堆积中 ， 每隔一层球体的位置完全相同 ， 而面心立方堆积中 ， 每隔三层的排列是一样的 。
事实上 ， 你可以任意混合模式创建不同的填充方式 ， 但是对于面心立方和六方最密堆积这两种模式来说 ， 它们都是最好的填充方式！它们不仅有相同的堆积密度， 而且还是三维空间中可能填充密度最大的排列 。 著名数学家、天文学家约翰内斯·开普勒在1611年就提出了这个猜想 ， 但是直到 1998年数学家托马斯·黑尔斯才给出了完整的证明 。
三维空间为有效地填充提供了更多的选择 。 随着维度的增加 ， 填充的方法变得越来越复杂：更多的空间意味着更多的可能性 ， 也愈加难以可视化 。 不仅仅是这个 ， 随着维度的增加 ， 球体所占据的空间就越小 。
考虑边长为 1 的正方形的内接圆：
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图21/27圆的半径为 0.5 ， 因此圆相对于方形的比例为：
同时也是二维空间中最密堆积的堆积密度 。
现在我们来到三维空间中立方体内的内接球 。
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图22/27此球体的半径为 0.5 ， 所以球体相对于立方体的体积比例为：
值得留意的是 ， 三维空间中 ， 立方体内接球体所占的空间比例小于二维空间正方形内接圆所占的比例 ， 照此类比 ， 随着空间维度的增加 ， 这个比例会减小 ， 也就是说 ， 随着 n 的增大 ， n 维球体占据的 n 维空间越来越小 。
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