新浪科技综合■为了用最小的箱子装最多的汽水，数学家们研究到了 24 维！新浪科技综合2020-08-06 15:56:510阅( 三 )
这个问题可以利用微积分来详细计算 ， 但是这里也可以利用角的数目来理解 。 在每个维度中 ， 我们都在 n 维的立方体中插入了 n 维的球体 。 球体的边接触了立方体的面 ， 但是没有接触立方体的角 ， 这代表立方体的每个角附近的区域都是在立方体的内部 ， 球体的外部 。 但是一个 n 维的盒子中 ， 有 个角 ， 这代表随着 n 的增加 ， 球体未覆盖的部分呈指数增长 。 不仅如此 ， 角之间的距离和球体之间的距离也会随之增长 。 这代表着 ， 从长远来看 ， n 维立方体内部 ， n 维球体外部的空间会越来越多 ， 使得球体所占的空间相比越来越少 。
如果空间占比逐渐缩小的球体还不够令人感到奇怪 ， 那么研究空间填充的数学家们在8维和24维中发现的东西就更令人惊讶了 。 在这些维度中 ， 由于球体占比缩小产生的空隙 ， 足以利用新的球体来填充 ， 从而产生高维空间的超致密填充物 。 这些填充被认为是最优的 ， 这个结论数学家们直到2016年才确定：马林娜·维亚佐夫斯卡证明了8维的填充 ， 一个星期内 ， 维亚佐夫斯卡及其合作者扩展到了24维的证明 。
维亚佐夫斯卡的工作代表目前我们已经知道了从 1 ， 2 ， 3 ， 8 ， 24维空间中最优的空间填充方式 。 但是在其他维度上 ， 还有更多的工作需要展开 。 所以 ， 拿出你的橘子和汽水罐 ， 试着摆弄一下这个填充游戏吧！或许 ， 你就是下一个发展这个理论的人 。
小练习：
1 。对于下面“简单立方”的填充 ， 这种排列的堆积密度是多少？
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图23/27与平面上方形堆积一样 ， 我们可以通过观察单个立方体来确定这种排列的堆积密度 。 八个角上 ， 每个角都有八分之一的球体在立方体内部 。 因此立方体内部正好有一个整球 。 如果球体的半径为 r ， 立方体的边长为 2r ， 则填充密度为（球体的体积除以立方体的体积）：
注意到 ， 这正好是立方体中那个填充的球体的比例 。
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图24/272 。利用普通的正八边形填充平面 ， 其填充密度是多少？
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图25/27因为这本质上是一个八边形的方形填充 ， 所以我们可以使用之前的方法 ， 观察一个连接四个相邻八边形中心的正方形 。 请注意 ， 正好有一个完整的八边形 ， 被分成四个部分 ， 位于正方形内 。 边长s的正八边形具有面积（可以通过各种方式分解八边形） ， 并且在中间有一个边长为s的方形 。 这使得堆积密度（八边形的面积除以八边形的面积与长度s的方形的面积之和）：
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图26/27值得注意的是 ， 这并不是平面中最密集的八边形分布 ， 你能找到更有效的填充方式么？
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图27/27
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