素数|田刚：素数、陈数、抽象数……不仅带来美，更很管用( 二 )
*零是数学史上伟大发明，打开了通向负数之门
古印度人发明了1至9，那么零又是怎么出现的呢？田刚分享了一段趣闻。2014年世界数学大会在印度举办，印度学者在主持会议时说，印度对数学的贡献在于零，零是印度人发明的。无就是零，意识到零是一个数字，是一个大突破。此前所有的数字都是尺子能量出来的，但尺子量不出零，抽象概念有所突破。公元5世纪，印度人发明了零，在1-9发明了一千年后，发明了零，最早是用点来表示。“零是数学发展史上最伟大的发明之一，零打开了通向负数的大门”，田刚给予了高度的评价。
早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，比埃及、印度早六七百年，比欧洲则早了一千多年。在古代数学书《九章算术》中就称正负数的计算为“正负术”，魏晋数学家刘徽说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异” 。传说欧洲人一直把零视为荒诞之事，直到十五世纪才接受。田刚讲述了英国数学家德摩根在1832年仍认为负数为虚构的故事。比如：父亲56岁，儿子29岁，何时父亲的年龄是儿子的两倍？如果用方程式解，结果这个X就是-2，他认为这是荒唐的。在中文世界里非常容易理解，就是时光倒回2年，父亲年龄就是儿子的2倍；又比如（-2）+（-5）是-7。这些概念在今天看来很简单，但在历史上，是经过长时间人们的认识后才得出的。
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《九章算术》是中国古代数学专著
*希伯索斯发明无理数，因此付出生命代价
毕达哥拉斯认为，数必须用整数和整数的比表达的，即是有理数。在公元前500年，他的弟子希伯索斯发现了一个惊人的事实，若正方形的边长为1，对角线为根号2，这不是一个有理数。这一发现与毕达哥拉斯的理论大相径庭，这使得学派领导人大为惶恐，认为这将动摇他们在学术界的崇高地位，于是竭力封锁了真理的传播，希伯索斯被迫流浪他乡。一日被毕氏手下门生撞见，残忍地将他扔到了大海里。希伯索斯失去了生命，但发现的无理数依然流传至今。常见无理数有圆周率π，欧拉数e，黄金比例。
接着不断有新的数字被发明。田刚举例：有理数和无理数放在一起就形成了实数。16世纪时，大家意识到，代数方程求解，出现了i的平方根，法国数学家、哲学家笛卡尔（1596-1650）给出了 “虚数”这个名称，表示“-1的平方根”。随着科学的发展，虚数在水力、绘图、航空等领域中得到了广泛的应用。第一个引入复数的是意大利科学家卡尔达诺，他在1545年给出了一元三次方程的一般解法，被称为“卡当公式”。
*《几何原本》中，欧几里得严格论证了勾股定理
公元前300年，欧几里德完成了《几何原本》。全书分13卷，有5条“公理”或“公设”，23个定义和467个命题。该数在印数比肩《圣经》和《可兰经》。欧几里得严格论证了勾股定理：3的平方+4的平方=5的平方，即中国古人所言“勾三股四玄五”，这也是毕达哥拉斯定理。田刚告诉听众，古代没有很多测量工具，可以通过勾股定理得出直角。
*哥德巴赫猜想、黎曼猜想都和素数相关
《几何原本》里还含有很多数论。数论是数学的核心分支之一，是研究素数的一个重要部分。
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1896年，阿达马和瓦莱布桑各自独立证明了素数定理
许多著名的猜想都与素数有关，如，被誉为“皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想：任何一大于2的偶数都可写成两个素数之和。田刚说，“至今最好的结果是1966年陈景润先生证明的。”还有很著名的黎曼猜想也要用到了素数，但“目前还不是一个数学定理。”谈到这里，田刚提出了较为深刻的定理——素数定理。1896年，阿达马和瓦莱布桑各自独立证明了素数定理；1949年，塞尔伯格和埃尔德什分别独立地给出了素数定理的完全“初等”的证明。该定理意在告诉你一个素数的分布，一千个素数看不出规律，增长后就有规律。除了5以外，大于5以后，不能以5结尾的数字，几乎都是奇数，以9结尾的数字和以1结尾的数字各占20%。
*素数奠定了现代信息的基本安全，广泛用于密码学
尽管这个定理有些深刻，但素数是现代信息安全技术的基础。密码学广泛应用在日常生活中，包括自动柜机的芯片卡、电脑使用者存取密码、电子商务等等。在电子商务里，密码学中经典的RSA算法被广泛使用。信用卡使用的RSA密码，有包含200位数的超大数字之和。田刚提醒，现在看来扫码非常便捷，但其安全性其实并没有刷卡高。
又如，在好莱坞电影《超时空接触》，片中主人公坚信，太阳系里一定还有其他星球有生命。他收到一个信号，但无法破解，最后主人公利用素数的数学理论破译了密码。田刚解释，这说明语言有时行不通，只有素数可以和外星空沟通。这部电影是依据康奈尔大学物理系教授的小说所改编。
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好莱坞电影《超时空接触》
*怀尔斯终于证明了费马大定理，椭圆曲线被广泛应用
数学发展中，更多数被引进，如由椭圆曲线定义的抽象数。1621年，著名的费马大定理就和此有关，费马声称自己有一个“绝妙的证法”，但没有写下来。费马猜想在1994年被英国著名数学家、牛津大学教授怀尔斯所证明。提到这位曾经的普林斯顿大学同事，田刚非常佩服，因为历经七年研究消息公布后，被人发现有一个小BUG，这意味着怀尔斯并没有解决费马大定理，压力之大可想而知，“但他能沉下心来，花14个月将此完善，真正论证了费马大定理。”田刚说，怀尔斯在日常生活里非常谦虚，怀尔斯的证明用到了大量的现代数学工具和技巧，证明揭示了椭圆曲线和数轮之间的深刻联系。费马大定理的证明被全世界公认为是20世纪伟大的数学成就之一。
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