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数学|0.999……真的等于1嘛？( 三 )


这样一来 ， 在“冥顽不灵学生的实数”的范畴内 ， 0.999…< 1 。
古典实数对两个数的大小顺序是这样定义的：在两个不同的数之间 ， 总是存在无穷多的其他实数 。 对于“冥顽不灵学生的实数”来说 ， 这一点在多数情况下也成立 ， 除了0.999…和1这种情况 。 在“冥顽不灵学生的实数”的体系中 ， 2.19999…和2.20000…虽然不相等 ， 但它们之间不存在任何实数 。 也就是说 ， 这些数之间存在着一个“空洞” 。
实际上 ， 这些数之间存在无数个“空洞”：在每个以无穷多的9结尾的数后面 ， 都有这样的一个“空洞” 。 这与连续性的概念相违背 。 连续性指的是平直、光滑、无穷的几何结构 。 从这个观点出发 ， “冥顽不灵学生的实数”并不令人满意 。
为了定义“冥顽不灵学生的实数”间的运算 ， 人们设想了一些新方法 。 我们可以从中挑出一种 ， 看看它有什么缺陷 。 当然 ， 其他方法也未必比这个好 。
我们规定 ， r和r'的和为f（r + r'） ， 积为f（r×r'） ， 其中“+” 和“×”是一般意义下的运算符号 ， 而 f 是进位转换操作 。 在必要的情况下 ， f 会将9的无穷序列转变为0 ， 同时在9的无穷序列前自动加1 。
对于冥顽不灵的学生来说 ， 根据一般的计算规则 ， 0.666…+0.333…首先会得出0.999… ， 然后通过f的转化 ， 会算出答案为1 。 因此他会得出 ， 0.666…+0.333…=1 。 如果仍让0.666…+0.333…=0.999…（虽然这看上去更合理） ， 就会得到1/3+2/3=0.333…+0.666…=0.999… ， 但我们期望得到的是1/3+2/3=1 。 而通过这种运算方法 ， 就不会有这样的问题了 。
上述运算法则避免了在计算中出现999…的问题 ， 因此也避免了1/3+2/3=0.999…以及其他类似问题的出现 。 最重要的是 ， 在上述运算中 ， 加法和乘法是符合交换律和结合律的；此外 ， 乘法对加法也满足分配律 。 因此 ， “冥顽不灵学生的实数”乍看之下非常符合逻辑 。
但是 ， 这种算法并非处处适用 。 因为在这种算法中 ， 乘以1有时会改变一个数 。 比如 ， 0.999…×1=1 。
更糟糕的是 ， 消去律（若a≠0 ， 则由ab=ac我们可以推导出 b=c）在这种体系中不再适用：从0.999…×1=1=1×1我们无法推导出0.999…=1 ， 因为对冥顽不灵的学生来说 ， 0.999…一定不等于1 。 要想使用该算法 ， 就必须重新审视我们常用的代数运算法则在冥顽不灵的学生的体系中是否依然有效 。
在“冥顽不灵学生的实数”世界中 ， 极限的概念也不尽如人意 。 数列1– （1/10）n并不收敛于1 ， 而是收敛于0.999…（而0.999…却不等于1） 。 但是 ， 1/10n却收敛于0 ， 这就意味着1/10n–1收敛于–1 。 换句话说 ， 一个收敛于L的数列 ， 其加法逆元的极限却不一定等于–L 。
这实在是令人扫兴！冥顽不灵的学生或许有一套实数能够让不等式0.999…<1成立 ， 但是这背后却要付出巨大的代价！我们还是另寻高明吧 。
非标准分析法
19世纪定义的极限概念为现代意义上的连续性打下了基础 。 极限的概念排除了无穷小 ， 即那些比任意非0整数的倒数都要小的数 。 这种无穷小的数在实数的古典概念中不存在 。 但是 ， 17至18世纪的数学家 ， 尤其是莱布尼茨（Leibniz）曾采用了无穷小的概念 。 当代物理学家也喜欢使用无穷小 ， 因为它能简化一些计算 。 在1966年 ， 美国数学家亚伯拉罕·鲁滨逊（Abraham Robinson）证明 ， 实数可以包含无穷小 ， 并且这样的设定不会产生矛盾 。
数学|0.999……真的等于1嘛？
他的理论——非标准分析理论（non-standard analysis）十分优美且强大 。 它为蒙受不白之冤的无穷小正名 。 他的理论建立在模型论（一门数理逻辑 ， 发展于20世纪）的基础上 ， 成为另一种可能替代古典实数概念的理论 。
类似于古典实数概念中基于收敛数列的小数 ， 我们也可以利用该理论构建小数概念 。 在这个理论中 ， 0.999…有特殊含义 ， 其中的省略号意味着小数点后有无穷多的9 ， 而这里的“无穷多”可以有多种理解 ， 因为在这个理论中有几种不同的无限大整数 H ， 它们在古典理论中是不存在的 。 根据对无穷多的不同理解 ， 0.999…在这个理论中可以是大小不同的实数 ， 它们或等于1 ， 或严格小于1 。 这是因为 ， 如果0.999…中有H个9 ， 那么0.999…=1–1/10H ， 而等号右边并不等于1（而是差了无穷小） 。
这种小数的理论由数学家阿尔伯特·莱特斯顿（Albert Lightstone）提出 。 如果冥顽不灵的学生放弃了前面提到的方法 ， 还可以尝试这种非标准分析法 ， 这样他仍能坚称0.999…<1并不是无稽之谈 。 因为在鲁滨逊的非标准分析中 ， 实数组成了一个域（一种集合 ， 其中定义了加法和乘法） ， 因此我们不会遇到前一种方法中无限小数与有限小数间出现“空洞”的情况 。
接受0.999...=1吧！
那么 ， 怎样利用非标准分析来看待本文中的问题呢？我们是该采用它的实数（有时也被称作超实数） ， 还是19世纪古典理论中被广泛接受的实数呢？


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