形式逻辑的数学原理(4)：命题
判断即有所断定 ， 其语言形式谓之命题 。形式逻辑与数理逻辑迄今都未从数学上定义命题 ， 后者仅将命题谓之或真或假的陈述句 。 形式逻辑将命题分为简单命题与复合命题 ， 并进而将复合命题分为联言命题、选言命题和假言命题 。 数理逻辑则仅将命题分为原子命题与复合命题 ， 复合命题未作二阶分类 。基于跨越形式逻辑与数理逻辑分界的考量 ， 本帖尝试给出命题的通用数学定义 ， 并期望该定义能够涵盖上述两种逻辑理论及其所有分类 。设P为任意语句 ， L为构成P的符号集合且L中每一个元素都有定义 ， 则满足下式的语句P称为命题：P={x,y,z|x∈™Q ， y∈L, z∈™J}式中 ， Q={∃,∀}且Q⊄L, J={∧, ∨, →, ↔, ﹁}且J⊄L,z∈™J=[(z∈J)∧(z∈J)⇏z∈x,y,z].由定义可见 ， 任何命题都是量词集、连接词集、非量词-非连接词符号集的一个D积 。令P的个体词为概念C ， 则依据上述定义即可给出任意命题P的各阶分类：1）|x,y,z|=2时 ，P为简单命题；2）|x,y,z|=3时 ， P为复合命题；3）z={∧}时 ， P为联言命题；4）z={∨}时 ， P为选言命题；5）z={→}∨z={↔}时 ， P为假言命题；6）z={﹁} 时 ， P为否定命题；7）|C|=1时 ， P为单称命题；8）x=∃时 ， P为特称命题；9）x=∀时 ， P为全称命题 。在特定语境下 ， 全称量词经常被省略 。 但是这种省略只是一种修辞意义上的符号处理 ， 它并不意味着量词可在实质意义上缺位 。 或许正因为量词的不可缺失性 ， 数学才可被用于分析万事万物 。
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