克莱因瓶|最近，数学家通过四维空间几何解决了世纪性几何难题：环内的矩形克莱因瓶

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一个闭合环路包括所有矩形的角吗？

今年3月中旬，数学家乔舒亚·格林和安德鲁·洛布因疫情原因只能待在家中。他们决定全身心投入到研究中来解决这个问题。这两个朋友看到的其中一个问题是一个世纪以前的几何问题。
它以一个闭合的循环开始。格林和洛布研究的问题预测，基本上，每条这样的路径都包含四个点组成的集合，它们构成任意比例的矩形的顶点。
虽然这个“矩形问题”看起来简单，但几十年来，数学家们一直在努力解决这个问题。当格林和洛布开始着手解决这个问题时，他们没有任何特别的理由认为自己会有所突破。在5月19日，当世界部分地区刚刚开始重新开放时，他们发布了一个解决方案。
回顾矩形问题
矩形问题是德国数学家奥托·托普利兹在1911年提出的一个问题的一个近似分支。他预言，任何一条闭合曲线都包含四个可以连接起来形成正方形的点。
要理解为什么这个问题如此困难，了解一些关于矩形问题所讨论的曲线类型是很重要的，这对格林和洛布的证明也很重要。
这对搭档解决了一个关于既“连续”又“光滑”的闭合曲线的问题。光滑连续的曲线与仅仅连续但不光滑的曲线形成对比。有许多角的曲线的一个突出的例子是分形的科赫雪花，它实际上是由角组成的。科赫雪花和其他类似的曲线，无法用微积分和相关方法进行分析，这使得研究它们特别困难。

一些连续的（非光滑的）曲线真的很糟糕。

矩形桩问题的第一个重大进展是由赫伯特·沃恩在20世纪70年代末的一个证明中取得的。这个证明开创了一种思考矩形几何的新方法。沃恩没有把矩形看成四个连接点，而是把它看成两对彼此有特殊关系的点。
画一个顶点标记为ABCD的矩形，从左上角顺时针方向。在这个矩形中，这对点AC（沿着矩形的对角线）之间的距离等于这对点BD（沿着另一条对角线）之间的距离。这两条线段也在它们的中点相交。
因此，如果你在一个闭合的循环中寻找矩形，一个方法就是寻找它上面具有这一特性的对点：它们形成具有相同中点的等长线段。要找到它们，很重要的一点是要用一种系统的方式来思考它们。
为了理解这是什么意思，让我们从一些更简单的东西开始。取标准数轴，在上面选择两个点上，比如7和8的，把它们画成xy平面上的一个点（7 ， 8），像（7 ， 7）这样的点也是允许的。现在考虑可以从数轴中提取的所有可能的数字对。如果你要画出所有这些点对，就填满了整个二维xy平面。