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克莱因瓶|最近，数学家通过四维空间几何解决了世纪性几何难题：环内的矩形( 四 )


但是他们的结果比他们预期的更彻底 ， 来得更快 。 原因与一个古怪的数学物体有关 ， 这个物体叫做克莱因瓶 ， 当考虑到辛几何时 ， 它有一个重要的性质 。
克莱因瓶克莱因瓶是一个二维表面 ， 看起来像一个现代的水壶 。 就像莫比乌斯带一样 ， 它只有一面 。 任何克莱因瓶 。 没有办法将克莱因瓶嵌入在三维空间 ， 使它不交叉自己 。
不过 ， 情况并不总是这样 。 在四维空间中 ， 可以嵌入克莱因瓶 ， 使其不相交 。 第四维空间提供了额外的回旋余地 ， 使克莱因瓶避免与自己相交 。 这就像两个人在一维的直线上走向对方时 ， 不由自主地会发生碰撞 ， 但两个人在二维的平面上走向对方时 ， 很容易就会突然转向 。
今年5月 ， 格林和洛布碰巧记得一个关于克莱因瓶的有趣事实：它不可能嵌入四维辛空间而不交叉自身 。 格林和洛布已经证明了在四维辛空间中嵌入莫比乌斯带是可能的 ， 这种方法遵循空间的规则 。 他们真正想知道的是莫比乌斯带的每一次旋转是否都与原始曲线相交 。
两个相互交叉的莫比乌斯带相当于一个克莱因瓶 ， 在这种空间中与自身相交 。 如果你旋转一个莫比斯带这样旋转后的复制品不会与原来的复制品相交 ， 本质上你就得到了一个不相交的克莱因瓶 。 但这样的克莱恩瓶在四维辛空间是不可能的 。 因此 ， 嵌入的莫比乌斯带带的每一次可能的旋转都必须与自身相交——这意味着每条封闭的、光滑的曲线都必须包含四个点的集合 ， 这些点可以被连接在一起 ， 形成具有所有高宽比的矩形 。
最后 ， 结论像雪崩一样来了 。
格林和洛布的证明是一个很好的例子 ， 说明解决一个问题通常取决于找到正确的角度来考虑它 。 一代又一代的数学家都没能解决这个矩形桩的问题 ， 因为他们试图在更传统的几何设置中解决它 。 格林和洛布一进入辛空间的世界 ， 这个问题就悄声消失了 。


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