克莱因瓶|最近，数学家通过四维空间几何解决了世纪性几何难题：环内的矩形( 三 ) 克莱因瓶

哈格尔迈耶解释了如何在四维空间中旋转莫比乌斯带，使编码两点之间中点的两个坐标保持不变，编码两点之间距离的坐标也保持不变。旋转只改变了最后一个坐标——关于两点对之间的线段角度的编码信息。
因此，旋转后的莫比乌斯带副本与原副本的交点恰好对应于闭合曲线上具有相同中点且距离相同的两对不同的点。也就是说，交点正好对应于曲线上矩形的四个顶点。

这些（空间）相交的地方就是你要找的东西的地方，德纳说。矩形问题历史上的所有这些证明，很多人都有这样的想法。

哈格尔迈耶在四维空间中使用了交集策略，并且比他之前的任何人得到的都多。莫比乌斯带可以旋转0到360度之间的任意角度，他证明了三分之一的旋转产生了原始的和旋转后的副本之间的交集。这个事实实际上等于说，在一个封闭的曲线上，你可以找到拥有三分之一长宽比的矩形。
格林说:“科尔意识到应该考虑将莫比乌斯带放在四维空间中，并掌握四维技术，这要归功于他。 ”与此同时，哈格尔迈耶的结果很有争议，如果四维空间是解决这个问题的有效方法，为什么它只对三分之一的矩形有用呢?
辛对称
今年2月，洛布在冲绳科技学院主持了一次会议，格林也参加了这次会议。两人花了几天时间讨论这个问题。之后，他们在东京观光的一周时间里继续交谈。
他们的希望是证明每一次莫比乌斯带的旋转都会产生一个交点——这就相当于证明你可以找到具有所有可能长宽比的矩形。
4月中旬，他们想出了一个策略。它包括将条带嵌入一个特殊的四维空间中。使用普通嵌入，可以以任何方式放置嵌入的对象。想想在二维平面中嵌入一个一维闭环。您可以使用的方法数量是无限的，就像您可以在表上放置一个字符串循环的方法数量一样。
但假设你要嵌入循环的二维曲面有某种结构。举个例子，想象一下一幅有箭头（称为矢量）的地图，它显示了风在地球上吹的方向和速度。现在您有了一个在每个点上带有额外信息的二维表面。然后，您可以对一维闭环需要嵌入到这个映射上施加限制，以便它始终跟随所嵌入的箭头的方向。
其他类型的几何空间使得考虑其他类型的约束成为可能。格林和洛布的研究中被证明很重要的一个叫做辛空间。
这种几何最早出现于19世纪，当时人们对行星轨道等物理系统进行了研究。当行星在三维空间中运动时，它的位置由三个坐标确定。但爱尔兰数学家威廉·罗文·汉密尔顿观察到，在行星运动的每一点上，也可以放置一个矢量来表示行星的动量。
20世纪80年代，一位名叫弗拉基米尔·阿诺德的数学家详细阐述了辛几何的数学研究。他知道有辛结构的几何空间在旋转下比没有辛结构的空间更容易相交。
这对格林和洛布来说是完美的，他们想要通过证明参数化莫比乌斯带的旋转副本也与自身相交很多来解决所有长宽比的矩形问题。于是他们开始尝试将二维莫比乌斯带嵌入到四维辛空间中。

【克莱因瓶|最近，数学家通过四维空间几何解决了世纪性几何难题：环内的矩形】从辛几何的角度来看这个问题有一个关键的见解，这改变了游戏规则。

到4月底，格林和洛布已经确定，有可能以符合四维辛空间结构的方式将莫比乌斯带嵌入四维辛空间中。完成这些之后，他们就可以开始使用辛几何的工具了——其中许多工具直接涉及到空间如何相交的问题。
格林和洛布在这一点上很有信心，他们可以改进哈格尔迈耶的结果——这意味着他们可以证明超过三分之一的旋转会产生一个交集。这反过来将意味着超过三分之一的矩形长宽比，可以在任何闭合曲线上找到点。