数学|后浪变前浪，一定会被拍死在沙滩上吗？未必……( 三 )
前面提到 ， 一般而言 ， 波浪在运动过程中往往会呈现两种状态：要么逐渐衰弱消失（色散） ， 要么向前聚集 。
前者出现的原因主要在于这种波浪可以被视为由多个速度（频率）不同的波叠加而成 。 随着波的传播 ， 其分量彼此远离 ， 也就是所谓的色散现象 。
汤姆猫击打水面 ， 水面荡起水波 ， 但不久便消散——这就是所谓的“色散现象” | iqiyi
初始时刻 ， 蓝色波的振幅相当于红、绿、紫波效果的叠加（左图）
一段时间后 ， 由于红、绿、紫波波速不同 ， 色散现象出现（右图）
“色散”一词通常用在可见光的情境中 ， 但可以推广至任何波动 。 当不同波长的平面波传播速度有差异时 ， 色散现象便会发生 。
另一方面 ， 对于后一类波浪而言 ， 由于波上不同的点速度不同 ， 波在向前传播的过程中受到挤压效应 ， 便会发生变形 。
汤姆抖动绳索 ， 杰瑞难逃厄运——绳子的形状是典型的非线性波 | iqiyi
初始时刻 ， 波浪为经典的钟形 ， 但不同位置波速不同（左图）
一段时间后 ， 由于顶端速度更快 ， 所以波浪的形状会向前倾（右图）
而今天我们讨论的孤波 ， 恰好同时具有了上述两种特性 。 事实上 。 孤波解只存在于非线性色散方程之中 。 方程的非线性会导致波阵面卷缩 ， 也就是刚刚提到的挤压效应 ， 而色散意味着波浪的传播速度依赖于波的频率和波长 ， 这导致波浪在传播过程中散开 。 两者共同作用 ， 效果相互抵消 ， 就形成本文介绍的稳定的孤波 。
汤姆即将被后浪打在沙滩 。 在这个例子中 ， 海面上的浪就是平衡了色散和非线性效应的后浪 | iqiyi
后浪的自我修养：
稳定性和粒子性
与其他的波浪相比 ， 合格后浪（孤波）最大的特点就在于其稳定性和粒子性 。 接下来的数值实验就可以很好地体现这两个特点 。
如果都是孤波 ， 那么后浪追赶前浪 ， 可以不必拍死前浪 | 作者绘制
在上面的数值实验中 ， 振幅较大的浪（后浪）追赶振幅较小的（前浪） ， 并发生碰撞 。 但碰撞之后 ， 二者恢复原本的形状 ， 且遵守动量守恒和能量守恒（即发生了弹性碰撞） ， 这也就使得孤波具有了稳定性和粒子性 。 因此不少学者也将孤波成为“孤子”或“孤立子” 。
值得一提的是 ， 在早期的文献中 ， 孤子往往指的是那些包含不止一个孤波的解（譬如上面的数值实验就包含了两个孤波 ， 也就是传统意义上的孤子） ， 而只有一个波的解则被称为孤波 。 但现在的很多文献中把能发生强烈相互作用 ， 但相互作用后除相位外其他特征（如形状、速度等）均保持不变的波皆称为孤波或孤子 ， 并不加以明确区分 。
钟型孤子
暗孤子
扭型孤子
呼吸子
几种典型的孤子 | Wikipedia
很多经典的方程都具有孤子解 ， 如KdV方程、非线性薛定谔方程、耦合非线性薛定谔方程、正弦-戈尔登方程、双曲正弦-戈尔登方程等 。 孤子的类型也多种多样 ， 包括钟型孤子、暗孤子、扭型孤子、反扭型孤子 ， 呼吸子等 。
讲了这么多 ， 最后总结一下孤子/孤波的特性[8]：
具有稳定的形态;局域分布;与其他孤子作用后特征不变或只有相位发生改变 。 由此看来 ， 作为要成为众人瞩目的后浪 ， 保持“稳定”、坚持自己的特色才是根本 。 这也不禁让人想起了后浪辈出的英国皇家学会和它的格言——
ius in verba
不随他人之言
（这就是所谓的强行升华主题吧??）
参考文献
[1] 谷超豪. 数学物理方程. 高等教育出版社, 2002.
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