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急需 勾股定理的由来和内容.勾股定理的由来？？( 二 )


设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米
∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形 。[编辑本段]《周髀算经》中勾股定理的公式与证明《周髀算经》算经十书之一 。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法 。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》 。
首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）
而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[1] ——
昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”
商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一 。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五 。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五 。两矩共长二十有五，是谓积矩 。故禹之所以治天下者，此数之所生也 。”
周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来 。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来 。
《周髀算经》证明步骤“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一 。”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表） 。
“故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五 。”：开始做图——选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五） 。
“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五 。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形 。
“两矩共长③二十有五，是谓积矩 。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和 。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方 。
注意：
① 矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角 。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形 。
② “既方之，外半其一矩”此句有争议 。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩” 。经陈良佐[2]、李国伟[3]、李继闵[4]、曲安京[5]等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑 。
③ 长指的是面积 。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长” 。赵爽注称:“两矩者, 句股各自乘之实 。共长者, 并实之数 。
由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明） 。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明 。
其实不然，摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》[1]——“句股各自乘, 并之为弦实, 开方除之即弦 。案: 弦图又可以句股相乘为朱实二, 倍之为朱实四, 以句股之差自相乘为中黄实, 加差实亦成弦实 。”
赵爽弦图注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明 。
下为赵爽证明——
青朱出入图三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方 。以盈补虚，将朱方、青放并成弦方 。依其面积关系有a^2+b^2=c^2.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了 。
以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方 。以赢补虚，只要把图中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c……2 ）．由此便可证得a^+b^2=c^2; [编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德 。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨 。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么 。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形 。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀 。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味 。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题 。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法 。


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