万字长文带你入门 GCN( 三 )
A 的坐标其实就表示在 x 轴坐标上有 3 个 的长度且方向与 相反 ， 在 y 轴坐标上有 1 个 的长度 ， 且方向相同 。
这样做的好处是什么呢？主要是为了方便计算和表示 ， 试想下 ， 如果只给你一点点而没有坐标系 ， 你怎么表示两个点之间的距离呢？而放在坐标系中 ， 这些问题就迎刃而解 。
有同学可能疑问 ， 不是说变换吗？怎么扯到笛卡尔坐标系了？其实我们刚刚说的就是一种变换：「将图上的节点变换到坐标系中」 。
2.2.2 Fourier Series
傅立叶变换分为傅立叶级数和连续傅立叶变换 ， 我们先说傅立叶级数 。
傅立叶级数适用于周期性函数 ， 它能够将任何周期性函数分解成简单震荡函数的集合（正弦函数和余弦函数） ， 举个例子 ， 比如说下图：
本文插图
左边是一个周期函数 ， 右边是将周期函数分解成多个简单震荡函数 ， 所以这个周期函数用数学公式可以表达为：
本文插图
我们看到上图中的信号是随着时间变换的 ， 所以我称之为「时域（Time domain）」 。
我们观察到 ， 不同的振荡函数具有不同的振幅和频率 ， 以上图为例 的振幅为 1/3 而频率为， 考虑以频率为横坐标 ， 振幅为纵坐标 ， 我们有：
本文插图
这个就是我们所说的频域（Frequency Domain） ， 其和时域是等价的 ， 不过是从另外一个角度去描述信号 。 我们把它放在一起看一下：
本文插图
我们可以放一张动图感受一下：
本文插图
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给出傅立叶级数的公式：
本文插图
还可以将其稍作变换：
本文插图
这样我们便能看出来 ， 此时的标准正交基为
本文插图
， 而对应的系数 其实就是傅立叶级数在这组标准正交基下的向量 。 这便是傅立叶变换 ， 将信号从时域变换到频域中 。
这里介绍下傅立叶变换后的基为正交基 ， 因为有个知识点后面还会用到 。
我们知道判断两个向量是否正交可以用向量点乘求和等于 0 来判断 ， 这种方法我们称为点积（内积）：
本文插图
与向量点积不同的是 ， 函数是连续的 ， 假设现在有两个函数 f 和 g ， f 的周期为 2n ， 我们也想用上述连续累加的方式来使得函数内积和向量内积的概念一致 ， 而积分正是函数累加的概念 ， 所以我们有：
对于上面我们说的傅立叶变换后的正交基 ， 我们容易得到：
本文插图
容易证明上述标准基为正交基 。
在数学里 ， 希尔伯特空间（Hilbert Space）是有限维欧几里得空间的一个推广 ， 是一个完备的内积空间 ， 其定义了一个带有内积的完备向量空间 。 在希尔伯空间中 ， 一个抽象元素通常被称为向量 ， 它可以是一个复数或者函数 。 傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基底函数的和 ， 而希尔伯特空间为傅立叶分析提供了一种有效的表述方式 。
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