万字长文带你入门 GCN( 六 )

本文插图
其中，为节点 i 的信号。我们称为图信号的总变差（Total Variation），可以刻画图信号整体的平滑度。
拉普拉斯的谱分解具有以下几点性质：

由于拉普拉斯矩阵以每行（列）元素之和为零，因此拉普拉斯矩阵的至少有一个特征值为 0 ，对应的特征向量
拉普拉斯矩阵的特征值都大于零，归一化的拉普拉斯矩阵的特征值区间为 [0, 2]；
如果有 n 个特征值为 0 ，则表示图有 n 个子图相互无连接；
特征值的总和为矩阵的迹，对于归一化的拉普拉斯矩阵，如果没有孤立节点或子图，其特征值为 N 。

2.4 Graph Fourier Transformer
有同学看到这可能会感到疑问了：「我们刚介绍傅立叶变换，现在又介绍拉普拉斯谱分解的，到底想干嘛」。
这是因为：「傅立叶分析是拉普拉斯谱分析的一个特例」！想不到吧，是不是很震惊？

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我们来证明下，首先考虑亥姆霍兹方程（Helmholtz Equation）：
其中，为拉普拉斯算子，为特征函数，为特征值。
看不懂不要紧，把它当成广义特征方程就行：，狭隘的特征方程只能用于处理向量和矩阵，而这个可以用于处理函数，最经典的应用是处理波动方程和扩散方程，所以我们可以用它处理信号。
回顾一下傅立叶变换：

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其实就是信号函数与基函数的内积（刚刚介绍过函数内积）。
对于基函数，我们让其与拉普拉斯算子求内积：

本文插图
以上便证明是「拉普拉斯算子的特征函数」，同时也证明了「离散傅立叶变换是拉普拉斯谱分析的一个特例」。
写到这我们有以下线索：首先拉普拉斯矩阵（离散拉普拉斯算子）可以应用在图像上，理论上也可以应用到网络上，而傅立叶变换是拉普拉斯的一个小弟，所以小弟也可以应用到图上。
回顾下拉普拉斯谱分析：
我们类比一下：
是不是长得非常像，所以我们也有了网络图上的傅立叶变换：