万字长文带你入门 GCN( 四 )
可能大家看到这里要爆炸了 ， 不过不用担心 ， 我们只需要记住上面「两个函数的内积形式」即可 。
2.2.3 Fourier Transformer
我们刚刚说的都是周期性函数 ， 但现实中大部分函数都是非周期的 ， 那如果涉及到非周期性函数该怎么办呢？
在介绍非周期性函数之前 ， 我们先简单介绍下欧拉公式 。
考虑横轴为 1 ， 纵轴为虚单位 i 的坐标系 ， 图上任意一点都可以表示为。
根据欧拉公式 ， 我们可以写成：
其中 ， e 为自然对数的底数 。
所以坐标轴上的点现在有了两种表示方式：
本文插图
考虑，会随着 t 的增大而逆时针旋转 。 所以 可以表示为坐标点 A 随着时间 t 逆时针旋转 。 我们以时间 t 为横坐标 ， 则可以记录到坐标点 A 映射在虚轴的运动轨迹：
本文插图
左边图是我们看到的旋转频率 ， 称为频域 ， 而右边图看到是时间流逝 ， 称为时域 ， 是不是和我们刚刚介绍的（从时域变换到频域）正好相反？也就是说 ， 时域和频域其实是可以相互转换的 。
回到正题 ， 考虑非周期函数的傅立叶变换 。
事实上 ， 我们可以将非周期函数考虑为周期无穷大的函数 ， 考虑频域中的横坐标： ， 当周期 T 无穷大大时 ， 频域图就从离散点变为连续的曲线 ， 如下图：
本文插图
那么 ， 我们该如何从这个非周期函数中分解出各种信号呢？答案就是利用正交！比如说 ， 假设这函数中有一个 的信号 ， 那么我们用 就可以把它乘出来 ， 而其他分量如
本文插图
都会因为正交而消失 。 所以我们需要对函数做一个内积：
本文插图
其中 ，刚刚介绍过 ， 就是一组正交基的组合 。 我们用正交基去与函数求内积 ， 如果原函数中包含频率为 的三角函数 ， 则 便为 0 ， 反之为 0 ， 这样自然分离能分离出相应的信号 ， 其图示如上图 c 中右部分所示 。
细心的同学可能还会注意到上式的计算的结果中还有复数 i 。 其实是样子的：「实数部分表示振幅」 ， 「虚数部分表示相位」 。 相关资料同学们可以自己查阅 ， 不再进行过多介绍 。
以上就是我们所说的傅立叶变换（Fourier Transform ， FT） 。 同样的我们也存在逆变换：
本文插图
于是 ， 我们便实现了将信号拆成多个正弦信号 ， 再把正弦信号逆变换为原来信号的过程 。
简单介绍下傅立叶变换的应用吧 ，省得看了那么多不知道他能干什么 。
一个很经典的例子就是：分离、降噪 。 如果男生和女生一起说话 ， 该如何分离出两者的声音呢？答案就是对这一段声音（时域）做傅立叶变换转换到频率 ， 而男女生的声音频率不同 ， 在频域中 ， 低频为男生 ， 中频为女生 ， 高频可能为噪音 ， 我们可以根据需要去除中频和高频的信号 ， 并将其进行逆变换 ， 这样便分离出了男生的声音 。
PS：这里再说一个好玩的 ， 频域中是不是不存在时间的概念？不存在时间却可以表示时间 ， 这有没有一点像我们的人生 ， 看似无规律 ， 但是从上帝视角来看 ， 一切皆命中注定 。
2.3 Graph Laplacian
图拉普拉斯矩阵可以定义为：
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