数学|数学之美！数学家的这些兴奋点，你能理解吗？( 二 )
我们看一下数字 ， P（2）等于2 ， P（3）等于3 ， P（4）等于5 ， P（5）等于7 ， P（10）等于42 。 大家看到P（100）已经很大 ， 而到P（200）那就更大 。 看了这组数据以后 ， 你可能会说增长太快了 ， 没法数 ， 但是有人会数 。
Hardy和Ramanujan在1918年 ， Uspensky在1920年独立证明“当n充分大时 ， P（n）与近似号右边的初等函数的值相近 。 同样 ， 近看P（n）的数字跳跃的很厉害 ， 看不出什么规律 ， 远看它却以一个初等函数的规律显示出来 ， 这个结果是猜不出来的 。
他们是用了数论里面的圆法 ， 经过复杂的计算得到的 ， 他们做出了别人难以想象的结果 ， 分割函数也常出现在量子物理中 。
数学的“残缺美”
听说过“残缺美”这个词吧？我们不得不想到 ， 维纳斯女神的断臂雕像 。
如果不是断臂 ， 它只是普通西方女人的雕像 ， 谁也记不住 ， 可是一断臂 ， 让看过的人终生难忘 。 那么数学上有没有这样的事情呢？
1637年费尔马在阅读丢番图《算术》的拉丁文译本 ， 写到：“不可能把一个正整数的三次方 ， 分成两个正整数的三次方之和；不可能把一个数的四次方 ， 写成两个正整数的四次方之和；对正整数的更高次幂也类似 。 我发现了一个奇妙的证明 ， 但这个空格太小了 ， 写不下 。 ”
这就是所谓的费尔马大定理 。 用公式写就是 ， 对大于2的整数n ， 不存在正整数abc ， 使得a的n次幂加b的n次幂等于c的n次幂 。 其实费尔马自己只证明了n等于4的情形 。 欧拉证明了n等于3的情形 。 1995年 ， 由当时在普林斯顿大学的Andrew wiles教授所证明 。 他现在在英国牛津大学 。
由于没有看到费尔马留下的证明 ， 人们尝试证明它的过程中发展了代数数论、椭圆曲线理论、Hecke代数理论等 。
如果费尔马真的证明了并把证明留下来 ， 那么这些理论的发展很可能延缓 ， 所以这就是数学的“残缺美” 。
还有没有解决的数学难题吗？有 。 对我们中国来讲 ， 最熟悉的就是哥德巴赫猜测 。
一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和 ， 这就是所谓的“1加1”问题 。 例如4等于2加2 ， 6等于3加3 ， 8等于3加5 ， 10等于3加7 ， 也等于5加5 ， 12等于5加7等等 ， 人们用计算机验证了所有小于等于4乘10的18次方的偶数 ， 结论都对 ， 可是到现在为止 ， 人们仍然无法证明它 。
1973年 ， 我国著名的数学家陈景润证明 ， 一个大于2的偶数可以写成两个素数之和 ， 或一个素数加上两个素数之积 。 这就解决了所谓的1加2问题 ， 这是该方向迄今为止最好的结果 。
除此之外 ， 还有一个问题叫做孪生素数猜测 ， 存在无穷多个素数p ， 使得p+2也是素数 ， 这是个千古之谜 。 到2013年 ， 华人数学家张益唐证明了存在无穷多个素数 ， 使得从p到p加7000万这个区间内也含素数 ， 这是数论领域里面一项革命性的工作 。
在这之前人们不知道是否有这样的有限区间存在 ， 在这之后格林和陶哲轩等人用张益唐的方法把7000万改到200 ， 取得了很大的进展 ， 但是离最后的结果2还相差很远 ， 算法上还需要改进 。
我们常看到星星 ， 可能没注意到有一个多体问题 。 物理学家和数学家一直试图找出相互有引力的n个物体的运动轨迹 ， n等于2时 ， 已经被约翰·伯努利在17世纪解决；当n大于2时 ， 却至今没有解决 。
2007年我在解n个物体在一条直线上的特殊模型时 ， 发现了具有高斯超几何函数3个基本性质的多元超几何函数 。 在1798年的博士论文中 ， 高斯引进了著名的单变元超几何函数 ， 它的重要性就是由这三个基本性质导出的 。
【数学|数学之美！数学家的这些兴奋点，你能理解吗？】流体我们都熟悉 ， Navier-Stokes方程就是流体力学中基本方程 。
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