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量子|历史的终结与最后的人 | 量子多体中的呐喊与彷徨之四( 二 )


量子|历史的终结与最后的人 | 量子多体中的呐喊与彷徨之四
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此处 ν = N/L2是系统中的电子占据数 ， 就是二维 L×L晶格上放 N 个电子 ， 平均每个格点上的电子数 ， 注意 ν 可以不是整数 。 而等式右边的 VFS 是费米面的面积 ， 再除以(2π)2就是其占正方晶格布里渊区的比例 。 最后一个n 是一个整数 ， 也就是说如果我们考虑多带的系统 ， 那么那些填满的能带就在每个格点上贡献一个电子 ，n 个占据的能带就贡献 n个电子 ， 如果只考虑单带问题时这个 n=0 。 所以 Luttinger 定理指出了费米液体(即使是具有相互作用的)其电子的占据数和费米面占布里渊区的比例精确对应 。 这是一个很有用处的结论 。
我们来看一个具体的例子 。 如图 1所示 ， 图 1(a)是一个自由电子系统的布里渊区和费米面 ， 蓝色的费米面之内为电子占据态 ， 按照 Luttinger 定理 ， 其面积和整个布里渊区面积的比例就是系统的电子占据数 ν (就是每个格点上平均有多少个电子 ， 再次注意 ， 可以不是整数) 。 然后若要考虑相互作用的效果 ， 我们可以让系统感受到一个反铁磁的不稳定性 ， 即图中绿色的矢量 Q =(±π, ±π) 所示 。 当反铁磁长程序最终形成时 ， 系统会进入电荷密度波的金属态 ， 其费米面会如图 1(b)所示 ， 原本的大费米面变成了四个小的口袋 (pocket) 。 乍一看 ， 左右两边的费米面明显不相等 ， 但是整个过程中我们没有改变电子的占据数 ， 所以按照 Luttinger 定理 ， 费米面和布里渊区的比例不应该变化 。 但是小 pocket 占的比例显然比大费米面要小 ， 这是怎么回事呢？其实Luttinger 定理总是对的：从图 1(a)到图 1(b) ， 系统发生了对称性破缺 ， 图 1(b)中的反铁磁序电荷密度波与图 1(a)中无相互作用费米子具有不同的平移对称性 ， 即图 1(b)中 的系统实空间原胞基矢比左边长了一倍 ， x 方向长一倍 ， y 方向长一倍 ， 实空间的原胞面积就大了4倍 ， 倒空间的布里渊区就小了4倍 。 在小了4倍的布里渊区中 ， pocket 所占的比例其实和原来的大费米面在原本的布里渊区中占的比例是相同的 ， 也就是说 ， Luttinger 定理对于费米液体 ， 不论其费米面的形状在相互作用下如何变化 ， 总是把电子占据数和费米面的面积紧紧联系起来 。
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图1 Luttinger 定理和费米面的面积 (a)二维正方晶格无相互作用费米子具有一个大费米面 。 当其感受到反铁磁相互作用时(如在 Hubbard 模型中) ， 反铁磁的波矢可以将费米面折叠成(b)中的小费米面 ， 或者叫口袋(pocket) 。 不论是大费米面还是小费米面 ， 其面积和布里渊区的比例就是系统中的电子占据数 ， 即Luttinger定理 。 在从(a)到(b)的过程中 ， 电子占据数没有发生改变[7]
Luttinger 定理是如此的正确和好用 ， 以至于在许多凝聚态物理学的前沿问题中 ， 都可以看到它的影子 。 比如重费米子的 Kondo lattice问题 ， 当重费米液体形成时 ， 人们发现此时费米面的面积变大了 ， 大于了系统中巡游电子的费米面 ， 如果按照 Luttinger 定理 ， 就意味着系统中构成费米面的电子数变多了 。 此时 ， 只要把局域磁矩也计入到电子的占据数中 ， 电子的占据数就和变大后的费米面在布里渊区中的比例相等了[8] 。 其实 Oshikawa 当初对于 Luttinger 定理的证明 ， 就是用的这个例子 ， 告诉人们在重费米液体中 ， 大费米面既有巡游电子的贡献 ， 也应该有局域磁矩的贡献 。 Luttinger 定理看来如此强大 ， 连重费米子都可以搞定 ， 其他的关联的金属自然也不在话下 。 那么是不是所有金属的电子占据数都是和费米面的面积一一对应呢 ， 这是不是又一个“历史终结论”式的结论呢？随着时间的前进 ， 是不是还是会有渐渐 hold 不住的情况呢？
还真是 ， 在凝聚态物理实验中 ， Luttinger 定理无法解释的情况是有的 ， 其中最著名的要数高温超导体中的 Fermi arc 态 。 就是指人们在铜基超导体的欠掺杂区域通过角分辨光电子能谱观察到此处系统的费米面不再是闭合的圆圈或者口袋 ， 而是变成了断裂的费米弧(Fermi arc)[9—12](顺便说一句 ， 在高温超导赝能隙和费米弧的实验发现过程中 ， 几位华人实验物理学家都做出了重要的贡献 ， [9—12]这几篇文献就是现在中国科学院物理研究所丁洪研究员和斯坦福大学的沈志勋教授早年的工作 ， 对于关联电子领域的发展影响深远) 。 图2(a)为铜基超导空穴型掺杂的示意相图 。 如图 2(b)所示 ， 在欠掺杂区域( p = 0.1掺 杂 ， 电子占据数 ν = 0.9) ， 角分辨光电子谱看到的不是红色的闭合口袋 ， 而是断裂的弧线；而如图 2(c)所示 ， 当系统到了过掺杂区域(


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