江苏龙网

  1. 首页 > 资讯 > >

枝头的喜鹊|这个“不科学”的题目，曾让大数学家欧拉受到了反驳( 二 )


在1780年出版的著作中 ， 达朗贝尔给出了质点振荡这个谜底 ， 但在统一本书中他也先容了欧拉得出的另一个谜底 。 欧拉 ， 这位18世纪最闻名的瑞士数学家先于他的法国同行 ， 得出了一个达朗贝尔本身没有想到 ， 但也不信服的结论 。 后者在书中写道：“欧拉先生在《力学》（Mécanique）一书中提出 ， 一个直接落向（加速中央O点）的物体 ， 当中央对它的作用力与间隔的平方成反比时 ， 会在到达（O）后原路返回 。 但很显然 ， 这位伟大的几何学家在这点上是错误的 。 ”
毫无疑问 ， 当时与欧拉关系疏远的达朗贝尔很乐于否定欧拉的结果 ， 他称这个结论很荒谬 。 欧拉是怎样得出这个结论的 ， 确实让人好奇 ， 因它太反直觉了 ， 竟然以为物体会在速度无穷大时忽然掉头 。 这个结论没有考虑两个引起争议的无限大量 ， 不论是质点P在点O时沿着落方向的速度 ， 仍是它在这点受到的引力 。
欧拉的奇异结论
借助牛顿曾经用过的方法 ， 欧拉在用拉丁语编写的《力学》（Mechanica ， 1736）的第一卷中探讨了这一题目 。 首先 ， 他假设在初始时刻 ， 质点P位于点A ， 且有一个垂直于OA方向的初速度VA ， 因此它的移动轨迹将会是一个椭圆 ， 长轴为AA" ， O是其中一个焦点 。 之后 ， 欧拉假设垂直于OA的速度VA不断减小直到零 。 这样 ， 椭圆就会不断变扁 ， 同时点A"会不断接近点O ， 当VA减为零时 ， 椭圆会与线段OA重合 。
枝头的喜鹊|这个“不科学”的题目，曾让大数学家欧拉受到了反驳
本文插图

莱昂哈德·欧拉提出了一个与达朗贝尔不同的结论：他首先设想质点有一个垂直于OA且不为0的速度VA ， 因此它的运动轨迹会是一个焦点为O ， 长轴为AA"的椭圆 。 接着 ， 他减小速度VA ， 直到它变成0 ， 这样椭圆就会不断变扁 ， 这时 ， 点A"就会不断接近点O 。 当椭圆扁到极限时 ， 椭圆轨道上的运动就会变为点A和点O之间往返的直线运动 ， 完全不一样了 。
通过把轨道的几何外形和点P的运动速度推向极限 ， 欧拉得到了这个奇异的结论 。 当然 ， 他这个取极限的方法也没什么根据 。 而且就像达朗贝尔那样 ， 欧拉也设定O是抽象的几何点 ， 没有任何其实物体 ， 而要有个物体的话 ， 至少在某种程度上能够证实点P回弹是公道的 。 此外 ， 这个解释显然给引力中央赋予了一种斥力 ， 一些牛顿力学的反对者指责椭圆运动中也存在这样的悖论 。 他们不理解 ， 为什么每颗行星都会花费一半的时间阔别吸引着它的太阳 。
枝头的喜鹊|这个“不科学”的题目，曾让大数学家欧拉受到了反驳
本文插图

拉普拉斯：模棱两可的调和
像欧拉和达朗贝尔这样两个当时最杰出的理论学者 ， 却在这样一个看起来十分普通的力学题目上得出了相反的结论 。 显然 ， 这个题目并不简朴 。 但毫无疑问 ， 他们的子弟很快会尝试终结这场科学争论 。 1799年 ， 皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace） ， 这位世纪之交的重要数学家在他的《天体物理》（Traité de mécanique céleste）一书中阐述了他的观点 。
拉普拉斯先是回顾了不断压扁椭圆 ， 通过取极限来计算物体落向引力中央的运动规律的方法 。 接下来 ， 他夸大：“朝向焦点的椭圆运动（原文如斯）与被压扁到极限的椭圆轨道上的运动有着本质的区别 。 在前一种情况下 ， 物体会越过焦点 ， 然后会飞到和起始位置同样远的地方；后一种情况下 ， 物体会经由焦点 ， 然后回到起始点 。 若在远日点（点A） ， 物体具有一个运动轨迹切线方向的速度 ， 不管这个速度多小 ， 它都会引起这种差异 。 但这种差异不会影响物体抵达焦点所用的时间 。 ”
不论是原文 ， 仍是把笔误“椭圆运动”更正为“直线运动”之后 ， 这段话都显得十分恍惚 。 靠着不指名道姓地宣称达朗贝尔（前一种情况）和欧拉（后一种情况）都是对的 ， 拉普拉斯好像完成了一个豪举 ， 调和了不可调和的矛盾 。 实际上 ， 固然他对达朗贝尔的结论没有任何异议 ， 但是他使用了欧拉的证实方式 。 他引入了无限扁的椭圆这一有趣的概念 ， 意思就是说 ， 这是一种我们能想象到的最扁的椭圆 ， 但它没有彻底变扁 ， 没有变成欧拉所说的线段 。 拉普拉斯始终在他的言论中保持着一种模棱两可 ， 他说“物体达到焦点” ， 但严格来说物体不会经由焦点 ， 由于它的轨迹是一个椭圆 。 最后 ， 这个惊人的言论固然有显著的笔误 ， 但是人们以为他与达朗贝尔的观点是一致的 ， 后者的结论在很长时间内都是主流观点 。
在《数学史》（Histoire des mathématiques ， 1758）的第二卷中 ， 让·艾蒂安·蒙蒂克拉（Jean-tienne Montucla）也对质点P向引力中心点O直线运动的题目进行了研究 。 他提到了牛顿 ， 但没有提及欧拉 ， 他也以为这种运动是一种极限情况下的椭圆运动 ， 并总结道：“物体不会越过（引力中央） 。 ”但是又他增补道：“我们也能确定它不会回头 。 由于没有任何能让它反向运动的因素 。 ”蒙蒂克拉明确地反对了欧拉的结论 ， 但是他也早就表达了对达朗贝尔结论的反对 ， 由于在他看来 ， 到达点O的质点P会停在那里 。


推荐阅读


上一篇：穿搭讲究|「主编讲堂」全球学术沙特阿拉伯篇——沙特的世界一流大学建设

下一篇：家装百科|有点吃惊，高考作文阅卷真的有这样的“潜规则”吗？