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枝头的喜鹊|这个“不科学”的题目，曾让大数学家欧拉受到了反驳


枝头的喜鹊|这个“不科学”的题目，曾让大数学家欧拉受到了反驳
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在18世纪 ， 科学家成功解释了行星围绕太阳的运动 ， 就像当时的英国人约瑟夫·赖特（Joseph Wright）在这幅画中描绘的那样 。 但学者们仍在苦苦思考着这种运动的一个假想特例：一个质点向着引力中央（也是质点）的着落运动 。
现在 ， 科学家对“奇点”已经习以为常 ， 他们知道 ， 这些点是自己的理论不再合用的地方 。 但 18 世纪的学者尚未意识到这一点 ， 在探讨经典力学中一个非常简单的题目时 ， 他们也遭遇了一个奇点 。 为了解决这个经典力学框架下实际上无法解决的题目 ， 包括大数学家欧拉在内的学者们想出了一些八怪七喇的方法 ， 得出了十分荒谬的结论 。 科学家花费了一个世纪才熟悉到这种研究是徒劳的：在奇点 ， 理论遭遇了其极限 。
撰文 | 雅克·加帕亚尔（Jacques Gapaillard）
翻译 | 邓艺杭
在天体物理学中 ， 黑洞是一个极为致密的时空区域 ， 没有物质能从中逃逸 ， 甚至连光都不行 。 这些特殊的天体代表了时空的奇点 ， 它们是引力的数学理论——广义相对论无法描述的区域 。 奇点存在于很多数学领域中 ， 我们在研究曲线和曲面、复变函数以及微分方程时常会碰到它们 。 如今 ， 科学家知道奇点通常是超出他们的理论适用范围的 。 但过去并非如此 ， 科学家最初遭遇奇点时 ， 甚至给出了一些基于不合理论证的希奇解决方案 。 18世纪时 ， 闻名数学家让·勒朗·达朗贝尔（Jean Le Rond D"Alembert）和莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在研究经典理论力学的一个简朴题目时就碰到了奇点 ， 这类似于一维空间中的一个点状黑洞 ， 他们没有想到这个奇点会带来多大的难题 。
棘手的题目
这个题目考虑的是一个质点向另一个质点着落的情况 。 在经典力学（也叫做牛顿力学）中 ， 为了利便 ， 我们往往借助假想的质点来考虑题目 ， 即一个具有质量的几何点（没有体积或外形） 。 根据牛顿引力定律 ， 空间中一个固定位置O（即引力中央）上的质点 ， 对另一个与之相距r的质点P施加的引力与r成反比 。 在r ≠ 0的情况下 ， 这一点是成立的 。 但当r变为0时 ， 质点P受到的引力就无法定义了 ， 因此对于点P来说 ， 点O便是奇点所在的位置 。
在这里 ， 引力中央O被视为抽象的纯粹几何点 ， 这个点上不存在任何物质实体 。 这是一种真实世界中不可能存在的情况 。 但这不妨碍我们考虑这样一个数学题目：质点P在O的引力（反比于r）作用下是如何运动的 。
对于这种前提下的质点运动 ， 牛顿在《自然哲学的数学原理》中已经给出了一个模型：假设在某个给定时刻 ， 质点P在O点之外运动 ， 速度不为0且不在直线OP方向上 ， 那么点P将会沿抛物线或双曲线运动 ， 或者以椭圆轨道围绕O旋转 ， 就像那些绕太阳公转的行星那样 ， 并且这三种圆锥曲线的焦点都在O上 。 但真正让学者困扰的情况是 ， 当质点P在质点O以外以0初速度开释时 ， 它会直接落向点O 。 计算显示 ， 点P会在有限时间内到达点O ， 此时它的速度会增加到无穷大 。
这之后呢？点P到达点O之后会发生什么呢？一方面 ， P好像只能越过点O沿着这条直线继承运动 ， 由于它此时运动速度极快 。 还有什么能比无穷大的速度更快呢？另一方面 ， 跟着点P不断接近点O ， 它受到点O的引力不断增大 。 到点P达到点O时 ， 引力会增长至无穷大 ， 这时点P就无法从点O逃逸出来 。 那么 ， 无穷大的速度和并不亚于它的引力 ， 哪一个会占据优势呢？
经典力学领域的权威专家保罗·阿佩尔（Paul Appell）用他自己的方法解决了这个题目 。 在他的《经典力学教程》（Cours de mécanique rationnelle ， 1888） ， 还有后来闻名的《经典力学》（Traité de mécanique rationnelle ， 1893）中 ， 他给了一个解释 ， 指出质点P是不可能到达引力中央的 ， 由于“这个运动物体接近点O时 ， 速度无穷增加 ， 这显然是无法实现的：在这两个物体间隔为0之前 ， 它们会先发生碰撞 。 ”但是这一解释根本没有回答上文提出的那个纯粹理论题目 。 我们都知道 ， 在这个题目里 ， 引力中央仅仅是一个几何学上的点 。
达朗贝尔的谜底
当时法国最伟大的数学家达朗贝尔 ， 在他的《数学手册》（Opuscules mathématiques ， 1780）第七卷中论述了这一棘手的题目：“很显然 ， （质点P）会越过（引力中央） ， 并不断阔别 ， 直到它与点O间的间隔与它开始运动时的间隔相等 。 之后 ， 它将重复这个过程 ， 不断振荡 。 ”也就是说 ， 运动物体P会在直线方向上以引力中心点O为中央往返振荡 。 实际上 ， 达朗贝尔刚接触到该题目 ， 就立即毫不迟疑地得出了这样的结论：运动物体将会越过引力中央继承沿直线运动 。 他只从动力学方面考虑 ， 因为物体在点O获得无穷大的速度 ， 这个运动必将持续下去 。 但他没有考虑到 ， 在点O ， 引力也会增加到无穷大 。
枝头的喜鹊|这个“不科学”的题目，曾让大数学家欧拉受到了反驳
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让·勒朗·达朗贝尔以为 ， 在点A开释的质点受到引力中央O的吸引而运动时 ， 会穿过点O ， 继承运动到点A关于点O的对称点A" ， 然后再掉头回来 ， 在点A和点A"之间往返振荡 。


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