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枝头的喜鹊|这个“不科学”的题目，曾让大数学家欧拉受到了反驳( 三 )


这个令人意想不到的观点 ， 甚至比欧拉的观点更让人困扰 ， 由于这意味着要在瞬间消除一个理论上无穷大的速度 。 实际上 ， 蒙蒂克拉发现 ， 假设与点O相距r的点P在一个与r2成反比的力f的作用下 ， 不断靠近点O ， 那么当r趋近于0时 ， 它的速度V会比这个力f增长得慢 。 由于 ， 这个速度仅与r成反比 。 最后这一步论证是错误的 ， 由于速度V实际上近似地与√r成反比 。 不外这一修正并不影响蒙蒂克拉的结论 ， 也就是说 ， 在点O无穷大的引力和速度的较量中 ， 引力占据了优势 。 我们预测 ， 在蒙蒂克拉的时代 ， 很少有人能够接受这种可能 。 然而 ， 在随后的一个世纪他的结论被再次提起 ， 依据是点P经由点O后速度变成了虚数 ， 不外这一论证也被用来支持欧拉的结论 ， 结果这个虚数速度是虚假的 ， 由于计算出了错 。
点状黑洞
这些理论讨论一直乏人关心 ， 由于引力作用下的直线运动 ， 在天文学上没什么实际应用价值 ， 所以力学研究者并不放在心上 ， 更别说这个物体落到引力中央的纯理论题目了 。 所以这个题目的终极谜底很晚才被揭开 ， 直到1930年 ， 保罗·潘勒韦（Paul Painlevé）才在《巴黎综合理工大学力学教程》（Cours de mécanique professé à l’cole polytechnique）的第一卷中做出解释 。
对于以无穷大的速度到达引力中央的运动质点 ， 他指出 ， 在这一瞬间之后 ， “题目就无法继承讨论下去了 。 ”他没有像蒙蒂克拉那样尝试用数学方法证实质点会住手在引力中央 ， 尽管后者看似在所有人之前找到了准确谜底 。 质点会住手本身就是力学理论的一部分 ， 而潘勒韦宣称在动点到达引力中央之后 ， 经典力学就无能为力了 。 对于这一题目 ， 点必需在引力中央住手 ， 而所有对于此后运动情况的预测都不具有科学价值 。
欧拉和达朗贝尔并没有预见到这样的结果 ， 但要知道的是 ， 即便到了潘勒韦的时代 ， 称霸了两个世纪的牛顿力学在20世纪初遭到了相对论的挑战后 ， 人们依然很难相信牛顿力学在猜测运动质点到达引力中央后的情况时是无能为力的 。
经典力学无法猜测引力中央会发生什么的切当原因在于 ， 它不答应质点的轨迹穿过一个速度和受力都无法定义（例如无穷大）的点 。 由于这一点上的数据有题目 ， 不能充当确定质点之后运动轨迹的初始条件 。 经典力学的有效性并没有什么题目 。 前文提到的保罗·阿佩尔对这个题目的解释 ， 实在就是说 ， 这个长久以来的“棘手的题目” ， 几乎没有困扰过力学家们 ， 由于这已经超出了力学实际应用的范畴 。 在理性力学中 ， 自由着落的质点的运动必然会停在这个奇点上 ， 这个点就像一个点状的黑洞 ， 终极会“吸收”掉这个质点 。
这样一个纯粹数学上的黑洞好像与现代天体物理学关注的黑洞相去甚远 。 牛顿力学体系下 ， 18世纪时就有人预言了后者的存在 ， 最闻名的就是拉普拉斯在《宇宙系统论》（Exposition du système du monde ， 1796）第二卷中的猜测 。 天体物理学中的黑洞通常很大 ， 例如恒星转化成的那些 。 它们甚至可能十分巨大 ， 好比那些存在于星系中央的超大质量黑洞 。 但天体物理学也考虑到可能存在近乎点状的黑洞 ， 好比那些可能泛起在宇宙诞生瞬间、具有量子特性的原初微型黑洞 。
事实上 ， 题目的关键在于如何理解这些奇点 。 质点以无穷大的速度到达引力中央 ， 在那里迎来了数学上的终结 。 18世纪的学者们没有意识到 ， 他们猜测质点之后的运动 ， 是在试图让质点重生 。 现在 ， 不论碰到巨大的仍是点状的黑洞 ， 科学家都知道他们的理论到了极限 。 假如有人想要知道黑洞的内部发生什么 ， 或是探究宇宙的诞生 ， 他一定需要新的理论 。
本文作者：雅克·加帕亚尔是法国南特大学荣誉教授 ， 教授数学和天文学史 。
来源：环球科学
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【枝头的喜鹊|这个“不科学”的题目，曾让大数学家欧拉受到了反驳】来源：中科院物理所


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