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范畴论的历史注记 范畴论教材( 五 )



Q3：13.范畴论形式的选择公理
选择公理是很常用的公理，在处理各种涉及无限集合的场合经常出现 。
通常的表述为，对任意的一族集合，总可以从每个集合中选择一个特定元素，构成一个新集合 。
或者说，存在一个选择函数，从每个集合中选择一个特定元素 。
范畴论的形式是，每一个满态可拆分 。
这里出现了新的修饰词，可拆分，其实，这个词翻译成这个意思也是有一番考虑的，原文是split，意为分开，分裂 。这里的可拆分，其实是指对象可拆分 。
一个单态称为可拆分的，当存在一个左逆，一个满态称为可拆分的，当存在一个右逆 。
如图所示，ef=1_A，所以箭头f有左逆，箭头e有右逆，显然f是单态，而且是可拆分的单态，e是满态，也是可拆分的满态 。
证明的话，由于有恒等箭头的限制，所以A中的每个元素发出的箭头都不能碰撞，因为最后还要回到这个元素，所以A到X的箭头肯定是将A中不同的元素送到X中不同的元素，也就是单射，由于箭头还要回来，所以X到A的箭头必须涵盖A的每个元素，即为满射 。
对集合范畴而言，单射就是单态，满射就是满态 。于是证明完毕 。
根据上面的一番讨论，我们就发现，对象X肯定大于等于A，不然箭头就回不来了，单射和满射都不再成立了 。
所以也称A是X的一个收缩，f是一个嵌入，e是一个收缩 。对象X其实可以拆分成A的等价类，就像商集那样，多个X中元素对应到一个A中元素 。对任意的满射都可以构造出对应的商集，这些等价类往往称之为纤维，在很多地方都会出现，像微分流形中的函数芽，拓扑中的覆盖空间都出现过这个词 。
于是，我们对这个可拆分就比较了解了，在让我们回头看看，每一个满态可拆分，到底是什么意思 。
对于满态e:X——>A，可拆分，则对集合X，存在另一个集合A，满足上面的交换图，也就是说X可拆分为集合A元素的的等价类，A中每一个元素唯一对应到一个等价类 。
如果还是不太清楚的话，就换一个说法，X可视为一族集合，每一个集合都是X中的等价类，并且集合族中的每一个集合都对应到A的一个元素，由于可拆分性，总存在一个由A到X的单态，分别在X的每个等价类也就是集合族的每一个集合中取一个元素 。那么这个单态就是选择函数 。
感觉，好乱啊，花了个图，感觉更清楚一些 。
A到X就是选择函数，每一类取一个元素 。X到A是任意的满态，可拆分性保证了选择函数的存在 。
Q4：什么是范畴论？它有哪些特点？
范畴论是抽象地处理数学结构以及结构之间联系的一门数学理论，以抽象的方法来处理数学概念，将这些概念形式化成一组组的“物件”及“态射” 。有些人开玩笑地称之为“一般化的抽象废话” 。范畴论出现在很多数学分支中，以及理论计算机科学和数学物理的一些领域 。研究范畴就是试图以“公理化”的方法抓住在各种相关连的“数学结构”中的共同特性，并以结构间的“结构保持函数”将这些结构相关起来 。因此，对范畴论系统化的研究将允许任何一个此类数学结构的普遍结论由范畴的公理中证出 。考虑下面的例子：由群组成的类Grp包含了所有具有“群结构”的物件 。要证明有关群的定理，即可由此套公理进行逻辑的推导 。例如，由公理中可立即证明出，群的单位元素是唯一的 。

Q5：范畴论的历史注记
范畴，函子和自然变换是由塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克兰恩在1945年引进的 。这些概念最初出现在拓扑学，尤其是代数拓扑学里，在同态（具有几何直观）转化成同调论（公理化方法）的过程中起了重要作用 。乌拉姆说，在1930年代的后期，波兰学派中曾出现类似的想法 。
艾伦堡和麦克兰说，他们的目的在于理解自然映射；为此，必须定义函子；为了定义函子，就自然地要引进范畴 。
同调代数由于计算上的需要而使用范畴论，这对范畴论起到了推进作用；此后范畴论又在代数几何的公理化过程中得到发展 。代数几何与罗素、迪恩·怀特海德的关于数学统一性基础的观点相抵触 。广义范畴论更容纳了语意灵活性和高阶逻辑等多种新特征的泛代数，现今被运用到数学的许多分支 。
特殊范畴拓扑斯甚至可以代替公理集合论作为数学的基础 。然而范畴论对这些范围广泛的基础应用还是有争议的；但作为构造性数学的基础或注释，范畴论被研究的相当透彻 。尽管如此，可以说，尤其是公理集合论，至今仍然是数学家们的通用语言，并没有被范畴论的注释所取代 。将范畴论引入大学程度的教学这一倡议，还是遭到了相当的反对 。


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