数学|数学在自然科学中不可思议的有效性（这篇真的很棒，不容错过）( 三 )
3)作者相信没有必要再指出，正文中讲到的Galileo定理并没有穷尽Galileo所观察到的所有有关自由落体的运动的内容。——原注
对于世界的目前状态，诸如我们赖以生存和Galileo实验赖以完成的地球的存在性、太阳及其他所有外界环境的存在性，自然规律根本无话可说。与此相协调的是，只有在异常的情况下，即在左右自然界目前状态的所有决定因素已知的情况下，才能预测未来。同样与此相协调的是对机器的诠释，物理学家能预见它的功能，这成为物理学家们最引人注目的成就。在这些机器中，物理学家创造了这样的局面，使全部相关的条件都是已知的，这样就能够预测机器的行为。雷达与核反应堆都是这类机器的例子。
上述讨论的主要目的是想指出，自然规律都是有条件的陈述，它只涉及我们关于自然界知识的一小部分。因此，众所周知的物理学理论的原型——经典力学，只是基于物体自身的位置等知识，给出所有这些物体位置坐标的二阶导数。它不能给出这些物体的存在、其瞬时位置或速度的任何信息。为准确起见，应该指出30年前我们就已知道，即使有条件的陈述也不是完全精确的：这些有条件的陈述是些或然性规律，我们只能依赖对现在状态的知识，用智力在非生命世界未来的性质上押赌注。它们不容许我们作绝对明确的断言，甚至也不容许作出以目前状态为前提的明确断言。“自然规律”的或然性质本身也显示在机器的情形，至少在核反应堆工作在非常低的能量水平时可以验证。不过，在自然规律范围内由或然性引起的附加限制在余下的讨论中不起作用。1)
老蝉总结：同意作者对物理学的理解。
数学在物理学理论中扮演的角色
清理过我们对数学和物理学本身的看法后，我们就可以更好地来探讨数学在物理学理论中的作用了。
自然，我们在日常的物理工作中的确利用数学来计算自然规律引出的结果，把有条件的陈述运用到恰好要我们关心或使我们感兴趣的特殊情况之中。为了达到上述目的，自然规律必须已经用数学语言加以表述。然而，对已有理论的因果关系进行数值表示并不是数学在物理学中最重要的作用。数学，或更确切地说，应用数学的这种功能，在此情况下并不占主导地位，它仅仅作为一种工具而已。（老蝉注：这是传统物理学家的理念，而近几十年的物理学，如玄论，数学已经不仅仅只是工具而已，它本身即是物理学了，当然反对玄论的人另当别论）
然而，数学在物理学中也还起着领袖般的作用。这已经隐含在讨论应用数学的作用的陈述中了，即自然规律必须已经用数学语言表达出来，成为应用数学研究的一个对象。用数学语言表达自然规律的宣言在300年前就已经以恰当的方式问世了；3)现在它比以往任何时候都更为真实可信。为阐明数学概念在建构物理规律过程中的重要性，作为例子让我们回忆一下伟大的数学家Von Neumann(冯·诺伊曼)明确地表述，或者如伟大的物理学家Dirac(狄拉克)含蓄地表述的量子力学公理。量子力学有两个基本的概念：态和可观测量。态是Hilbert(希尔伯特)空间的向量，可观测量是作用于这些向量的自伴算子。可能的观测值是这些算子的特征值——我们就此打住，以免去列出线性算子理论中的种种数学概念。
1)例如可参见E。Schrodinger的参考文献【1】。——原注3)这要归功于Galileo。——原注
当然可以肯定，物理学只选择一部分数学概念来表述自然规律，也可以肯定，全部数学概念中只有一部分被物理学所用。同样有把握的是，被物理学选用的概念并不是从一连串数学术语中随意挑出来的；在许多情况下(如果不是大多数的话)，它们都是物理学家独立发展起来的，过后才认识到数学家在之前就构想出来了。不过，不像经常谈论的那样，这种巧合是因为数学使用的是最简单的各种可能的概念，因而一定会在任何其他形式化的事物中出现。正如我们已经看到的，数学概念并非由于其概念的简单性才被物理学所选中——甚至数对的序列也远不是简单的概念——而是它们服从于巧妙的运算操作，服从于惹人注目的、鲜明的论证。我们不要忘了量子力学的Hilbert空间是具有Hermite(埃尔米特)纯量积的复Hilbert空间。肯定地说，对那些非全神贯注(于数学)的人，复数远不是自然简单的，它们不能由物理观察提示出来。此外，这一举例中对复数的使用并不是应用数学中只作计算用的雕虫小技，而是在量子力学规律的系统表述中不可或缺的概念。最后，现在已开始显露出不仅仅是数，而且还有所谓的解析函数，都必定要在量子理论的系统表述中起决定性的作用。我这里指的是频散关系理论的迅猛发展。
我们在这儿很难避免这样的印象：我们遇到了奇迹。它惹人注目的性质跟以下的奇迹是相当的：人类心灵能把上千个论证串在一起而不自相矛盾；还有，自然界居然存在规律而人类的心灵居然有能力(凭直觉)推测出它们。解释数学概念在物理学中突然而至这一现象的最切近的评论，就我所知，是Einstein(爱因斯坦)的论述；唯有那些我们欣然接受的物理学理论，是美的理论。这就要求我们来论证，吸收了那么多智力活动的数学概念具有美的品质。不过，Einstein的观察至多能够解释我们所乐意相信的那些理论的一种性质，而谈不上是对理论内在准确性的解释。为此，让我们转到下面这个问题上来。
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