数学|数学在自然科学中不可思议的有效性（这篇真的很棒，不容错过）( 四 )
物理学理论的成功真的令人意外吗?
物理学家采用数学来系统表述他的自然规律，一种可能的解释是他们多少有些不负责任。（老蝉注：维格纳真风趣）因此，当他发现两个量之间的关系类似数学中已广为人知的某种联系时，他就会匆忙得出结论说，这种联系就是在数学中已讨论过的那种。理由很简单，他不知道任何其他类似的联系。现在的讨论不打算对指控物理学家有些不负责任的说法予以反驳，也许他们就是这样的人。不过，指出下列事实是重要的，物理学家的经常是很粗糙的经验，一经数学的系统表述，便导出了出乎意料的各种案例，能异常准确地描述一大类现象。这表明，数学语言不仅仅是一种我们能够说出来的独特的语言，而且是真实意义上的正确的语言。（老蝉注：这完全正确，维格纳敏锐地观察到这一点，因此，很有可能一个具备二流物理知识的一流数学家会在其蹩脚的物理经验上用它一流的数学做出一个真的自然律。）让我们来看几个例子。
第1个例子是经常被引用的行星运动。主要依靠在意大利所完成的实验，落体运动规律被相当好地建立起来了。从我们今天所理解的精确性来讲，这些实验并不很精确，部分原因是有空气阻力的影响，部分原因是那时还不能测出极短的时间间隔。但不管怎么说，作为他们研究的一个结果，意大利的自然科学家们熟悉了物体在大气层中的运动方式，这一点是毫不奇怪的。后来，正是牛顿把自由落体定律与月亮的运行联系起来，他注意到地球上抛物体的抛物线路径和天空中月亮的圆形路径都是同一数学对象椭圆的特例，并根据一个在那时看也完全是近似的数值方面相符的结果，提出了万有引力定律。从哲学上讲，牛顿用公式表述的万有引力定律跟他的时代及他本人都是不协调的。从经验上讲，这个定律所依据的观测极为不足。用于表述的数学语言包含了二阶导数的概念，而曾试图画曲线的密切圆的人都明白二阶导数并不是一个直截了当的概念。牛顿勉强建立起来的、他自己证实只有4％精确性的万有引力定律，现在已被证明其精度高于百万分之一。这变得与绝对精度的思想紧密相连，以至于最近，物理学家自负地研究起精度的极限来了。1)当然，被反复引用的牛顿的定律这个例子，人们首先必定提及它是用数学家看来很简单的术语表述的，其精确度业已证明超出了所有合理期望的自然规律的不朽杰作。让我们再就这个例子扼要重述一下我们的论点：
首先，这一定律，特别是其中出现的二阶导数，仅仅对数学家来讲是简单明了的，从公众常识的角度看，或对没有数学头脑的新手来讲，它并不简单。
第2，它是在非常有限范围内的、有条件的定律。它对吸引Galileo的石块的地球没给出任何解释，也没说明月亮的轨道为什么是圆形的，同样也没阐明太阳的其他行星的情况。这些初始的环境与条件留给了地质学家和天文学家去解决，这对他们来说是非常困难的。
第2个例子是普通的初等量子力学。它源于Max Born(玻恩)注意到Heisenberg(海森伯)提出的一些运算规则，它们与数学家早已确立的矩阵运算规则在形式上完全一致。从而Born，Jordan(若尔当)和Heisenberg提议用矩阵代替经典力学方程中的位置变量和动量变量。他们把矩阵力学的法则运用到几个高度理想化的问题上，结果相当满意。然而，在那时并没有合理的证据证实，在更实际的条件下可以证明他们的矩阵力学是正确的。
的确，他们说道：“不知这里提出来的力学是否就其本质特性来讲应该就是正确的。”事实上，他们的力学第一次用于实际问题，是几个月后Pauli(泡利)针对氢原子做出来的。应用的结果与实验一致。这是令人满意也是可以理解的。因为Heisenberg的计算法则就是从包含氢原子的老的理论问题中抽象出来的。只有在矩阵力学或其数学上等价的理论被用到Heisenberg的计算法则无能为力的问题时，奇迹才会出现。Heisenberg的法则预先假设经典运动方程的解具有某种周期性质；氦原子中两个电子的运动方程，或者更重一些的原子的有更多电子的运动方程根本不会有这种性质，因此Heisenberg的法则不适用于这些情况。尽管如此，Cornell(康奈尔)大学的Kinoshita和美国标准局的Bazley(贝兹利)几个月前完成了有关氦原子最低能级的计算，在观察精度内，即千万分之一以内，与实验值相符。在这一案例中，我们可以有把握地说，从这些方程中“得到了”我们并没有放进方程的东西。
同样可靠的事也发生在较重原子产生的谱——“复杂谱”的定性特征上。我想回忆与Jordan的一次谈话。他告诉我，在谱的定性特征推导出来后，由量子力学理论导出的规则跟由实验研究建立起来的规则不符，这就提供了在矩阵力学框架内进行最后一次改变的机会。换句话说，Jordan觉得，要是在氦原子理论中出现意料之外的不符，那我们至少在短时间内是毫无办法的。那时，Kellner(凯尔纳)和HiUeraas(希勒拉斯)得出了这种不符。数学的形式主义是那么清晰和不可变更，如果上面提到的氦原子的奇迹不发生，那么真正的危机就会发生。毫无疑问，物理学终究能以这种或那种方式克服危机。另一方面，如果不是总有类似氦原子似的奇迹重现，真的就不会有今天的物理学了；氦原子的情况也许是初等量子力学发展进程中最为惹人注目的奇迹，当然并不是唯一的一个。事实上，在我们眼中类似的奇迹的数目很有限，究其原因，仅仅在于我们只乐意追求那些特别类似的奇迹之故。不管怎么说，量子力学所具有的许许多多几乎同样惹人注目的成功使我们确信，它正如我们所认为的那样是正确的。
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